Вивчення ідеалів кілець є класичним розділом комутативної алгебри, який розпочався під впливом теорії чисел і алгебраїчної геометрії, а у ХХ сторіччі у роботах Е. Нетер, Е. Артіна, А. Шпайзера та інших сформувався як самостійний напрямок. Якщо для цілозамкнених неособливих) кілець ця теорія набула повноти й завершеності, то для кілець із особливостями залишається багато невирішених питань. Зокрема, це питання про кількість і будову класів ідеалів. Перші результати тут одержали Д. Фаддєєв і З. Боревич для квадратичних кілець, вони ж і Х. Басс дослідили ширший і загальніший клас кілець, які відомі зараз як бассові. А саме, науковці встановили, що для таких кілець будь-який ідеал є обертовним (над своїм кільцем множників). Надалі Д. Фаддєєв показав, що для кубічних кілець кожен ідеал локально є або обертовним, або дуальним до обертовного, а Ю. Дрозд узагальнив цей результат для широкого класу кілець. Г. Якобінський, Ю. Дрозд і В. Ройтер дали критерій того, що кільце має скінченну кількість класів ідеалів. У роботах Ґ.-М. Гройеля, Г. Кнеррера, Ю. Дрозда й А. Шапперта були встановлені зв'язки цих питань зі класифікацією особливостей за В. Арнольдом, зокрема показано, що особливості зі скінченною кількістю класів ідеалів – це ті, які домінують прості особливості у розумінні В. Арнольда, а особливості з однопараметричними сім'ями ідеалів – це ті, які домінують унімодальні або бімодальні особливості. Подальші дослідження в цьому напрямку, яким і присвячена дисертація, є перспективними й важливими як для самої теорії ідеалів, так і для теорії особливостей і суміжних розділів алгебраїчної геометрії.Основні результати дисертації пов'язані зі класифікацією кубічних кілець і особливостей зі двопараметричними сім'ями ідеалів. У першому розділі дано огляд теорії ідеалів і наведено відомі технічні результати, які використовуються в роботі. У другому розділі розглядаються кубічні кільця, тобто розширення дедекіндового кільця, які містяться в кубічному розширенні його поля часток. Саме тут дано повний опис локальних кубічних кілець, а також їхніх ідеалів. Зокрема у геометричному випадку, тобто для локальних кілець алгебраїчних кривих над алгебраїчно замкненим полем, обчислено максимальну кількість параметрів у сім'ях ідеалів.

Постачальник даних: УкрІНТЕІ (Український Інститут науково-технічної експертизи та Інформації)

  Завантажити автореферат