Дисертаційна робота присвячена дослідженню випадкових операторів, що побудовані за одновимірними стохастичними потоками. Встановлено достатню умову існування образу компактної множини гільбертового простору під дією випадкового оператора $T_t$ зсуву вздовж потоку Арратья, для чого доведена формула інтегрування частинами для потоку Арратья. У дисертації встановлено, що компакти можуть зникати під дією $T_t$, і побудовано компактну множину у $L_2(\mathbb{R}),$ що майже напевно не зникає; досліджено її поперечники за Колмогоровим і показано, що їхня зміна під дією $T_t$ пов'язана зі властивостями випадкових інтегральних операторів, що побудовані за точковими процесами. Властивості таких випадкових інтегральних операторів досліджуються в даній роботі. У випадку, коли точковий процес задається положеннями у додатній момент часу частинок потоку Арратья, для відповідного інтегрального випадкового оператора в роботі знайдено вплив властивостей кластерів потоку Арратья на швидкість наближення його випадковими ядерними операторами.^UThe thesis is devoted to the study of random operators constructed by one-dimensional stochastic flows. Random operator $T_t$ of shift along an Arratia flow is a strong random operator in sense of A. V. Skorokhod. Consequently, images of compact sets under $T_t$ may not exist. It was obtained in this thesis that image of compact set under Gaussian strong random operator exists when Dudley condition holds. To obtain the sufficient condition in the case of $T_t$ it was proved in this work the formula of change of variables for an Arratia flow. Besides, the formula was used to show that compact sets may disappear under shift operator along an Arratia flow. It was constructed in this thesis a compact set in $L_2(\mathbb{R}),$ which almost surely doesn't disappear under $T_t.$ Kolmogorov $n$-widths of this compact were investigated, and it was shown how their changes under $T_t$ relate to properties of random integral operators generated by a point processes. It was shown in this work that correspond-\break ing random integral operators may be approximate by random nuclear operators. In the thesis we find which properties of clusters in Arratia flow influe on a rate of the approximation in the case of point process which is given by positions of particles in Arratia flow at a nonzero time.

Робота присвячена одновимiрним стохастичним потокам зi склеюванням, їх апроксимацiям та асоцiйованим точковим процесам. Для потока Арратья встановлюється аналог закону повторного логарифму для розмiру кластера в нулi. Доведено слабку збiжнiсть процесiв, отриманих при застосуваннi методу дробових крокiв до броунiвської сiтки, до n−точкового руху потоку Арратья iз дрейфом та встановлено оцiнку на швидкiсть збiжностi в термiнах метрики Вассерштейна в просторi розподiлiв випадкових мiр. Для одного класу потокiв Харрiса зi склеюванням побудовано апроксимацiї розв'язками стохастичних диференцiальних рiвнянь, встановленi збiжнiсть прямого та дуального потокiв та збiжнiсть образiв мiри Лебега вiд дiєю таких потокiв. Для потокiв Арратья введено поняття точкових щiльностей, котрi вiдповiдають скiнченним наборам точок старту та конкретним послiдовностям моментiв склеювання. Отриманi представлення точкових щiльностей в термiнах функцiй Грiна параболiчних задач, гаусiвських щiльностей, броунiвських мостiв, стохастичних експонент для потоку Арратья та розподiлiв векторiв уцiлiлих частинок.^UThe thesis is devoted to one-dimensional stochastic flows with coalescence, their approximations and related point processes. An analog of the iterated logarithm law for the size of a cluster is established for the Arratia flow at zero. The processes obtained by application of the fractional step method to the Brownian web are shown to be weakly convergent to an n-point motion of the Arratia flow with drift; an estimate of the speed of convergence is obtained in terms of the Wasserstein distance in the space of the distributions of random measures. Approximations of one class of coalescing Harris flows with solutions of stochastic differential equations are constructed; the convergence of the direct and dual flows and the convergence of images of the Lebesgue measure under the actions of such flows are established. Points densities that correspond to finite collections of starting points and specific realizations of the sequence of collisions are introduced for the Arratia flows. Representations of the point densities in terms of the Green functions of parabolic problems, Gaussian densities, Brownian bridges, stochastic exponentials for the Arratia flow and the distributions of vectors of the particles that have survived are given.