Доведено, що група автоморфізмів насиченої слабо гіллястої групи ізоморфна нормалізатору цієї групи ізометрій відповідного кореневого дерева. Встановлено, що кожен елемент нормалізатора групи скінченно станових перетворень однорідного кореневого дерева в групі ізометрій цього дерева має однорідну структуру. Встановлено критерій ізоморфності повних груп локальних ізометрій границь сферично однорідних дерев. Описано гратку нормальних дільників повної групи локальних ізометрій границі сферично однорідного дерева, а ця група є амбівалентною та досконалою. Встановлено критерій ізоморфності груп всіх гомеоморфізмів границь кореневих дерев, які зберігають міру Бернуллі. Встановлено критерій ізоморфності LDA-груп, які визначаються товстими діаграмами Браттелі.

  Скачати повний текст

Досліджено групи, в яких система узагальнено нормальних підгруп є досить великою у певному сенсі, а саме: підгрупа H групи G називається майже нормальною в G, якщо множина підгруп, спряжених з H у групі G скінченною, або, що рівносильно, нормалізатор підгрупи H має скінченний індекс у групі G; підгрупа H групи G називається наближено нормальною в G, якщо H має скінченний індекс у своєму нормальному замкненні у групі G. Зазначено, що ці підгрупи введено до розгляду Б.Нейманом, який показав, що якщо всі підгрупи групи є майже нормальними (відповідно наближено нормальними), то група має центр скінченного індексу (відповідно скінченний комутатор). На підставі даних дослідження зауважено, що вивчення властивостей систем майже нормальних і наближено нормальних підгруп та їх впливу на структуру усієї групи є актуальною задачею, що має своє специфічне коло питань. Розглянуто групи, в яких підгрупи, що не є майже нормальними (відповідно наближено нормальними), задовольняють деякі умови скінченості певного рангу. Поняття рангу, що є узагальненням поняття вимірності векторного простору, є важливою числовою характеристикою, взаємопов'язаною з групою. У теорії груп природно виникли та досить ефективно працюють різні ранги. Вивчено узагальнено розв'язані групи, в яких система підгруп, що є наближено нормальними (відповідно система підгруп, що не є майже нормальними), складаються з підгруп: скінченного 0-рангу, скінченного секційного p-рангу, p - просте число; скінченного секційного рангу; скінченного спеціального рангу; скінченного тотального рангу, скінченного мінімаксного рангу, а також з черніковських і майже поліциклічних підгруп відповідно. Узагальнена розв'язність є природним обмеженням за такого роду досліджень, оскільки приклади груп, побудованих О.Ю.Ольшанським та його учнями, показують, що за межами класу узагальнено розв'язних груп ситуація є кардинально відмінною.

  Скачати повний текст

Отримано числові та кардинальні характеристики груп по відношенню до їх симетрій та фарбувань. Виведено формули підрахунку числа симетричних r-фарбувань скінченної групи G і числа класів еквівалентних симетричних r-фарбувань G. У неабелевому випадку побудовано контрприклади до даного твердження. Встановлено, що якщо група G за будь-якого 2-фарбування містить нескінченну однокольорову симетричну підмножину, то G є або зліченною локальною скінченною, або майже циклічною.

  Скачати повний текст

  Скачати повний текст

Досліджено групу всіх скінченно станових автоморфізмів регулярного кореневого дерева. Встановлено умови скінченності самоподібних підгруп цієї групи й умови спряженості елементів у цій групі. Виділено клас автоматів без циклів з виходом і доведено, що група автомата без циклів з виходом скінченна. Встановлено критерій абелевості групи автомата та доведено, що абелева група автомата буде скінченною тоді і лише тоді, коли автомат не містить циклів з виходом. Для автомата без циклів з виходом з n станами за певних додаткових умов доведено точність дії його групи на n-му рівні кореневого дерева. У випадку бінарного алфавіту знайдено точну оцінку порядку групи автомата як функцію від n. З точністю до ізоморфізму знайдено повний список груп автоматів без циклів з виходом з 2, 3, 4 та 5 станами. Доведено критерій спряженості елементів скінченного порядку та критерій спряженості з додавальною машиною над бінарним алфавітом в групі всіх скінченно станових автоморфізмів.

  Скачати повний текст

Наведено опис централізатора для довільного елемента групи автоморфізмів кореневого однорідного дерева валентності 2, як базовий приклад окремо описано централізатори елементів максимального про-порядку. Розглянуто клас ізометрій простору Бера, що задаються лінійними функціями на кільцях цілих 2-адичних чисел, встановлено критерій скінченностановості таких ізометрій. Визначено, які лінійні ізометрії є сферично-однорідними автоморфізмами, обчислено для таких ізометрій централізатори в групі скінченно-автоматних підстановок. Наведено критерій спряженості лінійних шарово-однорідних ізометрій простору 2-адичних чисел, за допомогою якого одержано приклад автоморфізму групи скінченно-автоматних підстановок, що не є спряженим зі своїм оберненим.

  Скачати повний текст