Обгрунтовано шляхи вирішення актуальних проблем апроксимації субгармонійних функцій логарифмами модулів аналітичних функцій. Досліджено асимптотичні властивості аналітичних і мероморфних функцій, гармонійних функцій, зображених інтегралами Пуассона - Стільтьєса. Одержано точну оцінку міри множини, на якій модуль аналітичної функції швидкого зростання більший за 1.

  Скачати повний текст

  Скачати повний текст

Одержано точні оцінки інтегральних середніх аналогів логарифмічних похідних для субгармонійних функцій ззовні множин малої лінійної щільності. Доведено аналог теореми Валірома для нескінченнозначних мероморфних функцій скінченного порядку зростання з точкою розгалуження в нескінченності. Встановлено зв'язок між властивостями алгеброїдних коефіцієнтів лінійного диференціального рівняння n-го порядку та швидкістю зростання алгеброїдних розв'язків цього ж рівняння. Встановлено оцінку порядку зростання мероморфних з логарифмічною особливою точкою в нескінченності вектор-розв'язків систем диференціальних рівнянь.

  Скачати повний текст

Досліджено властивості субгармонічних функцій скінченного порядку.

  Скачати повний текст

  Скачати повний текст

Розвинуто теорію трансмутаційних операторів, пов'язаних з розвиненнями за власними функціями оператора Лапласа - Бельтрамі. Доведено точні теореми єдності типу Ф. Джона для розв'язків рівнянь згортки й їх "спектральні" аналоги для функцій скінченної гладкості. Одержано ефективний опис розв'язків для широкого класу рівнянь згортки. Доведено нові теореми щодо періодичного в середньому продовженні. Вирішено проблему щодо існування ненульового розв'язку для системи рівнянь згортки. Розв'язано проблему Беренстейна - Гея щодо локального аналогу спектрального аналізу. Розв'язано задачу В.В. Проізволова щодо характеризації функцій з нульовими інтегралами по всіх кулях фіксованого радіуса. Вирішено проблему Зальцмана - Беренстейна - Гея щодо існування ненульової функції з нульовими інтегралами по всіх кулях двох фіксованих радіусів. Розв'язано проблему, яка походить до Д. Дельсарта щодо гармонійності функції, що задовольняє рівнянню середніх значень для куль двох фіксованих радіусів.

  Скачати повний текст

Розроблено принципові положення методу рядів Фур'є для повних логарифмів і логарифмічних похідних мероморфних функцій та основи теорії функцій, спряжених до субгармонійних у крузі. З використанням даних теоретичних розробок наведено повний опис асимптотичного поводження аргументів і логарифмічних похідних мороморфних функцій шляхом регулярного зростання у розумінні А.А. Кондратюка в інтегральних метриках. У повному обсязі та в найбільш загальній постановці вирішено відому проблему А. Зігмунда - опису послідовностей нулів добутків Бляшке з обмеженими інтегральними середніми їх логарифмів. Встановлено критерій розв'язності уточненої задачі А.А. Гольдберга про канонічне зображення мероморфних функцій часткою цілих. Побудовано канонічні інтеграли Вейєрштрасса мінімального зростання із заданою борелевою мірою, маса круга якої має мажоранту нескінченного нижнього порядку, обгрунтовано можливості їх застосування для розв'язання узагальненої задачі А.А. Гольдберга про канонічне зображення delta-субгармонійних функцій.

  Скачати повний текст

Запропоновано топологічну класифікацію функцій. Одержано результати стосовно встановлення умов топологічної еквівалентності неперервних функцій, заданих у колі та в одиничному крузі. Наведено топологічну класифікацію неперервних функцій зі скінченною кількістю екстремумів, заданих на колі, у термінах їх інваріантів, які дозволяють встановити числа топологічно нееквівалетних функцій. Доведено аналог гіпотези Арнольда в одновимірному випадку. Для неперервної функції, заданої в околі нуля, який є її ізольованим локальним мінімумом (максимумом), знайдено умови, за яких функція є топологічно еквівалентна конусу над плоскою кривою. Для псевдогармонічних функцій, що задані на диску та мають скінченне число екстремумів на межі, побудовано їх інваріант (комбінаторну діаграму) та знайдено необхідні та достатні умови топологічної еквівалентності функцій з даного класу. Вирішено проблему реалізації скіченного зв'язного графа зі строгим частковим порядком на вершинах як комбінаторного інваріанта деякої псевдогармонічної функції.

  Скачати повний текст

  Скачати повний текст

Досліджено питання застосування теорії узагальнених функцій у теорії субгармонічних функцій. Хермандер довів, що якщо послідовність субгармонічних функцій у деякій області збігається як послідовність субгармонічних функцій, то вона збігається у просторах Лебега з мірами, які є обмеженням міри Лебега на компакти, які містяться в області. Це твердження не вірне для просторів Лебега з довільними мірами. Для півплощини розлянуто ширший клас мір. Носії таких мір не вкладені компактно в півплощину. Повністю описано множину I(z), яка складається зі значень у фіксованій точці z, функцій u(z), де u пробігає граничну множину деякої субгармонічної функції v. Описано граничну множину Азаріна екстремально нерегулярних субгармонічних функцій.

  Скачати повний текст