Дисертацію присвячено питанням коректності обернених задач для лінійних параболічних рівнянь другого порядку з однією просторовою змінною. Розроблено методику дослідження обернених задач, що базується на зведенні обернених задач до систем операторних рівнянь другого роду і аналозі методу параметрикса. Застосування даної методики дало можливість встановити умови існування та єдиності розв'язку обернених задач ідентифікації залежних від часу старшого коефіцієнта рівняння теплопровідності і множника вільного члена параболічного рівняння у випадку нелокальних крайових умов і умов перевизначення, знаходження залежного від часу множника старшого коефіцієнта параболічного рівняння, одночасного визначення двох залежних від різних аргументів коефіцієнтів параболічного рівняння. Досліджено також нехарактеристичну задачу Коші для рівняння теплопровідності і задачі, в яких використовується її розв'язок - обернена задача в двошаровому середовищі і задача визначення коефіцієнта теплообміну в крайовій умові третього роду.

  Скачати повний текст

Означено новий клас параболічних систем, клас параболічних систем Солонникова - Ейдельмана, який узагальнює відомі класи систем, параболічних за І.Г.Петровським, С.Д.Ейдельманом і В.О.Солонниковим. Для цього класу систем описано постановку початкових задач - параболічних початкових задач Солонникова - Ейдельмана (ППЗСЕ). Для модельних ППЗСЕ визначено структуру фундаментальної матриці розв'язків, одержано її оцінки, доведено теорему про коректну розв'язність у просторах Гельдера необмежено зростаючих зі зростанням просторових змінних функцій. Виведено точні оцінки норм розв'язків через відповідні норми правих частин системи і початкових умов. Для загальних ППЗСЕ доведено теорему про коректну розв'язність у просторах Гельдера зростаючих функцій, аналогічну до відповідної теореми для модельного випадку. Доведено необхідність умови параболічності системи для правильності апріорних оцінок у просторах Гельдера розв'язків загальних ППЗСЕ.

  Скачати повний текст

Досліджено нелокальні двоточкові та багатоточкові задачі для безтипних лінійних рівнянь та систем рівнянь зі сталими, змінними й операторними (псевдодиференціальними) коефіцієнтами довільного (також і нескінченного) порядку в області, що є декартовим добутком відрізка та бататовимірного тора. Зазначено, що такі задачі є некоректними за Адамаром, а їх розв'язність взаємопов'язана з проблемою малих знаменників. Розроблено методику дослідження нелокальних задач, яка передбачає не лише накладання умов на малі знаменники, що забезпечують розв'язність задачі, але й знаходження оцінок знизу малих знаменників. З використанням метричного підходу одержано такі оцінки знизу майже всіх (стосовно міри Дебега) векторів, складених з коефіцієнтів рівнянь чи інших параметрів задачі. Установлено умови існування та єдності розв'язку двоточкових і багатоточкових задач для безтипних систем рівнянь з частинними похідними у просторах Соболєва періодичних функцій. Для рівнянь нескінченного порядку введено та досліджено відповідні простори Соболєва нескінченного порядку. Розглянуто питання знаходження наближених розв'язків (псевдорозв'язків) нелокальних задач за допомогою методу мінімізації у соболєвських просторах.

  Скачати повний текст

Реалізовано задачу повного опису операторів Q-умовної інваріантності нелінійних (1 + 2)-вимірних рівнянь теплопровідності. Одержані Q-умовні оператори використано для редукції відповідних рівнянь до диференціальних рівнянь з двома незалежними змінними. Показано, що наслідком Q-умовної симетрії для деяких рівнянь такого типу є можливість розділення змінних і проведення антиредукції. Знайдено у повному вигляді широкі класи інволютивних множин двох операторів Q-умовної симетрії нелінійних рівнянь теплопровідності. Проведено редукцію та побудовано деякі розв'язки цих рівнянь. Розв'язано обернену задачу симетрійної класифікації для еволюційних рівнянь та систем довільного порядку. Побудовано нелінійні еволюційні рівняння та системи довільного порядку, що інваріантні відносно розширеної конформної алгебри. Здійснено повну групову класифікацію деяких класів нелінійних еволіційних рівнянь другого, третього та довільного порядку. Для рівняння другого порядку, що виокремлюються найширшою симетрією у цьому класі, проведено редукцію та побудовано деякі класи його точних розв'язків. Досліджено симетрійні властивості системи (1 + n)-вимірних рівнянь теорії проникання, що описує адіабатичний рух нев'язкої стисливої рідини у випадку відсутності та наявності масових сил. Знайдено системи, інваріантні відносно узагальненої алгебри Галілея за відсутності та наявності осьової симетрії. Класифіковано квазілінійні системи еволюційних рівнянь третього порядку, інваріантних відносно алгебри Галілея та її розширень операторами масштабних і проективних перетворень.

  Скачати повний текст

Знайдено умови стійкості вироджених лінійних систем диференціальних рівнянь з періодичними коефіцієнтами у випадку їх звідності до центральної канонічної форми, а також необхідну та достатню умову існування періодичних розв'язків виродженої системи диференціальних рівнянь у критичному випадку. Виведено асимптотичні формули для фундаментальної матриці, матриці монодромії та мультиплікаторів сингулярно збуреної системи першого порядку за різних випадків поведінки спектра межової в'язки матриць. Одержано достатні умови стійкості даної системи й існування в неї єдиного omega-періодичного розв'язку. Досліджено питання про існування і єдність omega-періодичного розв'язку та стійкість виродженої лінійної системи диференціальних рівнянь другого порядку у випадку простого та кратного спектра межової в'язки матриць. Побудовано асимптотику періодичних розв'язків сингулярно збурених систем диференціальних рівнянь першого та другого порядків з omega-періодичними коефіцієнтами за виконання знайдених умов їх існування та єдиності.

  Скачати повний текст

Одержано нові достатні умови рівномірної асимптотичної стійкості й експоненціальної стійкості, що допускають функції Ляпунова зі знакозмінними похідними. Запропоновано новий підхід у дослідженні стійкості за Ляпуновим для диференціальних рівнянь із запізненням, що використовує визначені властивості траєкторій у нескінченновимірному просторі відрізків траєкторій. З застосуванням цього підходу одержано теореми про достатні умови рівномірної асимптотичної стійкості та нестійкості нульового розв'язку функціонально-диференціального рівняння запізнюючого типу, що допускають використання знакоперемінних і немонотонних уздовж розв'язків рівняння функціоналів Ляпунова. Зазначено, що запропонований метод побудови функціоналів Ляпунова можна використовувати для дослідження параметричного резонансу в системі лінійних рівнянь з запізненням. Показано, що шляхом зміни величини запізнення можна знищити зони динамічної нестійкості та стабілізувати систему. Одержано нові достатні умови асимптотичної стійкості та нестійкості нульового розв'язку різницевого рівняння з запізненням, запропоновано нову схему обгрунтування принципу усереднення для різницевих рівнянь.

  Скачати повний текст

Досліджено асимптотичне поводження за великих значень часу нелокалізованих розв'язків рівнянь типу Кадомцева-Петвіашвілі (КП) - КП1, КП2 та рівняння Джонсона 1 (РД1). На підставі методу зворотної задачі розсіяння побудовано схему інтегрування рівняння Джонсона. Розроблено метод дослідження асимптотичної поведінки нелокалізованих розв'язків рівнянь типу КП за великих значень часу та доведено, що такі розв'язки розпадаються в області переднього фронту в нескінченний ряд зігнутих асимптотичних солітонів.

  Скачати повний текст

Розглянуто новий клас лінійних початково-крайових задач математичної фізики з поверхневою та внутрішньою дисипацією енергії, а також абстрактні початково-крайові задачі, які узагальнюють задачі математичної фізики з використанням абстрактної формули Гріна для трійки гільбертових просторів і оператора сліду. Доведено теореми про існування сильних розв'язків початково-крайових задач. Одержано результати, які стосуються структури та характеру спектра, повноти та базисності систем власних функцій відповідних спектральних задач. Досліджено спектральні задачі сполучення з поверхневою дисипацією енергії.

  Скачати повний текст

Вивчено прямі й обернені задачі в областях з невідомими (вільними) межами для гіперболічних систем рівнянь першого пордяку з двома незалежними змінними. Установлено умови локальної та глобальної розв'язності цих задач. Поставлені задачі зведено до еквівалентних нелінійних систем інтегрально-функціональних рівнянь типу Вольтерра, для яких установлено умови локального існування та єдності узагальненого (ліпшицевого) розв'язку на підставі теореми Банаха про нерухому точку стисного оператора або, в окремому випадку, узагальненого принципу стисних відображень. Досліджено питання продовження локального розв'язку й одержано достатні умови розв'язності задач на всій часовій осі.

  Скачати повний текст

Досліджено розвиток методу абстрактних граничних умов у теорії розширень лінійних операторів у гільбертовому просторі. Для секторіального лінійного оператора або секторіального лінійного відношення наведено параметричний опис усіх максимальних акретивних і максимальних секторіальних розширень, їх резольвент та спряжених операторів у термінах абстрактних граничних умов. Абстрактні результати застосовано для опису відповідних граничних задач диференціальних операторів другого порядку. Побудовано функціональну модель простого щільно заданого секторіального оператора. Отримано нові зображення замкнених у термінах резольвент асоційованого оператора та породженої ним однопараметричної підгрупи.

  Скачати повний текст

Одержано умови існування та неіснування глобальних розв'язків задачі Коші для квазілінійного параболічного рівняння у випадку початкових даних, що повільно прямують до нуля та належать до деякого вагового простору. Доведено теореми типу Фуджити для виродного параболічного рівняння з нелокальним джерелом. Вперше одержано умови існування глобального розв'язку задачі Коші для квазілінійного параболічного рівняння з дивергентною головною частиною з джерелом, що містить нелокальний множник з від'ємним показником степеня. Розглянуто рівняння з подвійною нелінійністю та з підлінійними коефіцієнтами. Відзначено, що дані результати є новими навіть для напівлінійного рівняння. Знайдено умови глобальної розв'язності та відсутності обмежених розв'язків задачі Коші для природного параболічного рівняння з нелокальним джерелом у випадку початкових функцій, що повільно спадають до нуля.

  Скачати повний текст

Розвинуто метод інваріантних багатовидів та досліджено питання його застосування для якісного та біфуркаційного аналізу деяких класів параболічних, параболічних функціонально-диференціальних та диференціально-різницевих рівнянь. Розвинуто метод для дослідження динаміки дисипативних структур та явища буферності у параболічних задачах з малою дифузією. Розглянуто застосування в нелінійній оптиці та теорії спінового горіння. Результати В.І.Арнольда, А.М.Самойленка та Є.Мозера про квазіперіодичі розв'язки систем диференціальних рівнянь на торі застосовано для системи диференційно-різницевих рівнянь.

  Скачати повний текст

Запропоновано алгоритми адаптивної ідентифікації та керування на базі прямого методу Ляпунова, в яких диференціальні рівняння для настройки матриць параметрів моделі мають модифіковану у порівнянні з класичними методами структуру. Для розв'язання відомих проблем залежності правих частин диференціальних рівнянь настройки матриць параметрів моделі від невідомих параметрів об'єкта наведено ітераційний і рекурентний алгоритми, які базуються на використанні градієнтних методів мінімізації деяких критеріїв. Досліджено питання диференціальних властивостей функціоналів ітераційного та рекурентного алгоритмів градієнтного типу, установлено існування та єдність розв'язків розглянутих задач. Доведено теореми про збіжність методів проекції градієнта в задачах мінімізації. Сформульовано сумісну задачу непрямого керування з використанням рекурентного алгоритму ідентифікації та досліджено стійкість розв'язку сумісної задачі керування.

  Скачати повний текст

Розроблено й обгрунтовано схеми усереднення для систем диференціально-функціональних рівнянь з повільними та швидкими змінними, які у процесі еволюції проходять через резонанс. Введено резонансне співвідношення для частот, яке залежить від запізнення у швидких змінних. Побудовано рівнозмінні оцінки для осциляційних інтегралів, що відповідають багаточастотним системам у випадку сталого та змінного запізнення. Розглянуто випадок лінійного запізнення. У разі накладених умов асимптотика оцінок непокращувана. На підставі одержаних оцінок доведено нові теореми з обгрунтування методу усереднення для систем зі сталим і змінним запізненням, у випадках, коли частоти залежать від повільного часу або від повільних змінних. Вивчено випадок систем з лінійно перетвореним аргументом. Запропоновано й обгрунтовано схеми усереднення для систем з запізненням, коли задаються багатоточкові або інтегральні крайові умови. Процедура усереднення застосовується також до інтегральних крайових умов. У малому околі розв'язку усередненої задачі доведено існування та єдність розв'язку або його існування, якщо вектор часот залежить від повільних змінних. Обгрунтовано схеми усереднення для систем вищого наближення, якщо задано початкові або крайові умови. Розглянуто задачу коливання нескінченної струни під дією багаточастотних збурень і наведено для неї обгрунтування методу усереднення. Запропоновані схеми усереднення використано для розв'язання певних модельних прикладних завдань.

  Скачати повний текст

  Скачати повний текст

Установлено умови коректності та побудовано розв'язки задач з даними на всій межі області для деяких класів лінійних безтипних рівнянь з частинними похідними довільного порядку зі сталими та змінними коефіцієнтами. Досліджено крайові задачі для лінійних рівнянь та систем рівнянь з частинними похідними, не розв'язаних відносно старшої похідної за часовою змінною, без обмежень на порядок диференціального виразу за просторовими змінними у разі старшої похідної за часом та побудовано розв'язки у вигляді рядів за системами ортогональних функцій. Уперше визначено умови існування та єдності розв'язків крайових задач для слабконелінійних гіперболічних рівнянь та систем рівнянь високих порядків зі сталими та змінними в головній частині оператора коефіцієнтами. Доведено нові метричні твердження про оцінки знизу малих знаменників, які виникають під час дослідження та побудови розв'язків розглянутих задач.

  Скачати повний текст

Досліджено нескінченні системи диференціальних рівнянь, які описують нескінченні ланцюги лінійно зв'язаних нелінійних осциляторів. Одержано результати про існування та єдність глобальних розв'язків задачі Коші, а також результати про неіснування глобальних розв'язків. Вивчено періодичні за часом розв'язки. Такі розв'язки описуються нелінійними різницевими рівняннями, які мають варіаційну структуру. За допомогою теореми про гірський перевал установлено достатні умови існування періодичних розв'язків. У випадку степеневих потенціалів показано, що такі розв'язки можуть бути одержані за допомогою методу умовної мінімізації. У випадку просторово однорідних ланцюгів установлено існування розв'язків, що мають вигляд біжучих хвиль. Показано, що профіль таких хвиль експоненціально спадає на нескінченності.

  Скачати повний текст

  Скачати повний текст

Проведено дослідження асимптотики розв'язків систем диференціальних рівнянь, які є лінійним розширенням динамічної системи на торі. Одержано достатні умови асимптотичної еквівалентності лінійного розширення динамічної системи на m-вимірному торі, які є узагальненням теореми Левінсона. Для лінійного розширення динамічної системи на торі та відповідної збуреної задачі доведено існування асимптотично стійкої інваріантної тороїдальної множини. Досліджено умови існування асимптотично стійкого інваріантного тороїдального багатовиду одного класу систем нелінійних диференціальних рівнянь.

  Скачати повний текст

Запропоновано спеціальні анзаци для провадження редукції й ефективного пошуку точних розв'язків рівнянь Колмогорова - Петровського - Піскунова, Фішера та інших рівнянь, які мають широке застосування у різноманітних моделях теплопровідності та реакції-дифузії, математичній біології, хімії, генетиці.

  Скачати повний текст