Скачати повний текст

Досліджено крайові та мішані задачі для диференціальних рівнянь з частинними похідними в кусково-однорідних середовищах. Запроваджено новий клас інтегральних і гібридних інтегральних перетворень типу Мелера - Фока, породжених узагальним диференціальним оператором Лежандра. Розглянуто новий клас інваріантних диференціальних рівнянь з узагальненим оператором Лежандра в однозв'язних областях евклідового простору та на ріманових многовидах. Доведено теореми про інтегральні зображення точних розв'язків крайових задач для диференціальних рівнянь еліптичного типу другого порядку в кусково-однорідних циліндричних і сферичних середовищах. Аналогічні теореми одержано у випадку мішаних задач у даних середовищах для диференціальних рівнянь параболічного типу другого порядку. Побудовано інтегральні перетворення типу Мелера - Фока для однорідних і кусково-однорідних середовищ, породжених узагальненим диференціальним оператором Лежандра другого порядку, обгрунтовано можливості їх застосування в теорії диференціальних рівнянь з частинними похідними та задачах математичного аналізу. Доведено теореми про інтегральні зображення дельта-функції Дірака, запроваджено нові класи інтегральних перетворень з невідокремленими змінними типу Бохнера - Лежандра та Бохнера - Шестопала в однозв'язних областях евклідового простору та на ріманових многовидах. Доведено теореми про інтегральні зображення фундаментальних розв'язків задачі Коші для інваріантних рівнянь параболічного та гіперболічного типів та фундаментального розв'язку для інваріантних рівнянь еліптичного типу з узагальненим оператором Лежандра в однозв'язних областях евклідового простору та на ріманових многовидах.

  Скачати повний текст

Досліджено повідінку розв'язків крайових задач в областях межі особливості типу ребер. Отримано апріорні оцінки сильних розв'язків задачі Діріхле для лінійного еліптичного недивергентного рівняння, мішаної задачі для лінійного недивергентного рівняння другого порядку, задачі Діріхле для квазілінійного недивергентного рівняння та слабого розв'язку задачі Діріхле для квазілінійного дивергентного рівняння в області з ребрами на межі. Доведено теореми існування розв'язку у вагових просторах для задачі Діріхле та змішаної задачі для лінійного рівняння, а також задачі Діріхле для квазілінійного недивергентного рівняння.

  Скачати повний текст

Побудовано класи коректної розв'язності основних крайових задач для параболічних та еліптичних рівнянь з особливостями та виродженнями. Досліджено параболічні рівняння другого порядку зі степеневими особливостями довільного порядку за часовою зміною у фіксований момент часу, та довільними просторовими змінними на деякій множині точок усередині області або на бічній межі, а також з нелокальною умовою за часовою змінною. Для даних рівнянь доведено коректну розв'язність першої крайової задачі, а також задачі з косою похідною, односторонньої крайової задачі та нелокальної задачі Коші. Встановлено коректну розв'язність задачі Діріхле, задачі з косою похідною та односторонньої крайової задачі для еліптичних рівнянь другого порядку з будь-якими степеневими особливостями за довільними змінними на межі області або на деякій множині усередині області. Результати дослідження застосовано до задач оптимального керування системами, що описуються параболічними крайовими задачами у випадках внутрішнього, граничного та фінального керування.

  Скачати повний текст

Розглянуто алгебрично-аналітичний метод дослідження просторових потенціальних полів з осьовою симетрією за допомогою моногенних функцій, які набувають значення в деякій нескінченновимірній комутативній банаховій алгебрі, що дає часткове розв'язання окресленої М.Лаврентьєвим проблеми розробки методів дослідження просторових потенціальних полів, аналогічних методам теорії аналітичних функцій комплексної змінної. Розроблено функціонально-аналітичний метод розв'язання крайових задач в меридіанній площині просторового потенціального поля з осьовою симетрією, що дозволив редукувати задачі Діріхле для вісесиметричного потенціалу та функції течії Стокса до інтегральних рівнянь Фредгольма другого роду. Узагальнено теорію Ф.Нетера сингулярних інтегральних рівнянь та встановлено загальні результати про стійкість властивостей нетеровості та індексу операторів у неповних топологічних векторних просторах.

  Скачати повний текст