Скачати повний текст

Дисертацію присвячено розвитку теорії диференціальних та псевдодиференціальних операторів на нескінченновимірних многовидах. Головна увага приділяється розвитку ймовірнісного підходу до еліптичних диференціальних операторів на нескінченних продакт-многовидах та асимптотичним методам дослідження псевдодиференціальних операторів з символами на гільбертовому просторі (або многовиді). Зокрема, побудовані фелерові півгрупи, що асоційовані з операторами Діріхле гіббсівських мір на продакт-многовидах. Побудовано символьне числення для важливого класу псевдодиференціальних операторів з гільбертовим фазовим простором та квазікласичні розв'язки відповідних рівнянь Шредінгера. Побудовано функтор асимптотичного квантування класу нескінченновимірних симплектичних многовидів.

  Скачати повний текст

У дисертації для операторів із дискретним спектром встановлено ізоморфізм між просторами кореневих векторів і векторів експоненціального типу. Побудовано функціональне числення в інтерполяційних класах символів для повних операторів із дискретним спектром, зокрема, для генераторів аналітичних півгруп. Наведено застосування до теорії еліптичних диференціальних операторів.

  Скачати повний текст

  Скачати повний текст

Визначено спектральні властивості нестандартного оператора Штурма - Ліувілля в скінченних різницях. У спектрі природним чином виділено "неперервну" і "дискретну" частини, розглянуто асимптоматику власних значень. Оцінки, одержані для власних і приєднаних функцій, а також резольвенти дозволяють описати їх тіні, тобто зв'язок з відповідними стандартними об'ємами. Простежено аналогію між отриманими результатами і властивостями, відкритими М.А.Наймарком з метою сингулярного несамоспряженого диференціального оператора на півосі.

  Скачати повний текст

Досліджено певні аспекти теорії баз в гільбертовому просторі із застосуванням методів нестандартного аналізу. Введено поняття колостандартної бази та її тіні. Встановлено критерій колостандартності вектора та оператора в термінах їх координат і, відповідно, матриць. Отримано умови сильної та рівномірної колостандартності, а також s-компактності діагонального оператора.

  Скачати повний текст

Дисертацію присвячено прямим та оберненим спектральним задачам для самоспряжених скінченнорізницевих операторів другого та четвертого порядків. Розв'язано обернену задачу спектрального аналізу про відновлення матриці за її спектральною функцією для скінченних і напівскінченних п'ятидіагональних симетричних матриць. Доведено, що будь-яка монотонна матричнозначна функція другого порядку, в якої існують усі моменти - спектральна для окремої можливо виродженої п'ятидіагональної матриці. Знайдено необхідні та достатні умови, яким повинна відповідати спектральна матриця-функція з метою невиродження відповідної п'ятидіагональної матриці. Введено новий тип спектральних даних для якобієвих матриць з обмеженими елементами, у яких дворазовий спектр відокремлений від одноразового та містить сегмент дворазового абсолютно неперервного спектра. Отримано інтегральне рівняння, що дозволило відновити матрицю за одержаними даними. За допомогою даного рівняння розв'язано задачу Коші для ланцюжка Тоди з початковими даними, що не стабілізуються.

  Скачати повний текст

Дисертацію присвячено дослідженню прямих і обернених апроксимаційних задач.

  Скачати повний текст

Розроблено новий підхід до вивчення послідовностей нескінченного рангу нестаціонарності у гільбертовому просторі. За даних умов введено нові характеристики нестаціонарності такі, як кореляційні різниці, квазіранг та інші, за допомогою яких характеризується нестаціонарність послідовностей і встановлюється зв'язок з вимірністю неермітових підпросторів операторів, що задають відповідну послідовність у гільбертовому просторі. За допомогою спектральної теорії несамоспряжених операторів вивчено структуру кореляційних різниць деяких класів нестаціонарних послідовностей та неоднорідних полів у гільбертовому просторі. Реалізовано новий підхід до одержання спектральних зображень нестаціонарних послідовностей, що базується на аналізі інваріантних підпросторів операторів, які дають еволюційне зображення послідовностей. Одержано операторне зображення розв'язку задачі Коші у гільбертовому просторі, що породжує послідовність нескінченного рангу нестаціонарності.

  Скачати повний текст

Досліджено розвиток методу абстрактних граничних умов у теорії розширень лінійних операторів у гільбертовому просторі. Для секторіального лінійного оператора або секторіального лінійного відношення наведено параметричний опис усіх максимальних акретивних і максимальних секторіальних розширень, їх резольвент та спряжених операторів у термінах абстрактних граничних умов. Абстрактні результати застосовано для опису відповідних граничних задач диференціальних операторів другого порядку. Побудовано функціональну модель простого щільно заданого секторіального оператора. Отримано нові зображення замкнених у термінах резольвент асоційованого оператора та породженої ним однопараметричної підгрупи.

  Скачати повний текст

  Скачати повний текст

  Скачати повний текст

Розглянуто задачу Соболева, у якій граничні умови задано лінійними диференціальними виразами на багатовидах різних розмірностей. Досліджено у повних банахових шкалах еліптичну, еліптичну з параметром і параболічну задачі Соболева для одного рівняння та системи структури Дугліса - Ніренберга. Для них одержано умови існування узагальненого розв'язку та доведено теореми про повний набір ізоморфізмів.

  Скачати повний текст

  Скачати повний текст

Наведено необхідні та достатні умови існування та єдиності обмеженого на осі розв'язку лінійного диференціального рівняння зі зсувами аргументу в банаховому просторі за умови обмеженості правої частини рівняння. Розглянуто й узагальнено деякі факти теорії узагальнених функцій повільного зростання на випадок операторно значних основних функцій. Запропоновано конструкцію регулярних узагальнених функцій зі значеннями у банаховому просторі. Отримані результати застосовано для опису повільно зростаючих розв'язків лінійного диференціального рівняння з одним зсувом аргументу та обмеженим операторним коефіцієнтом у випадку невиконання необхідних і достатніх умов існування і єдиності обмеженого розв'язку. Одержано достатні умови існування обмеженого розв'язку нелінійного диференціального рівняння зі зсувами аргументу у випадках обмеженого та необмеженого операторного коефіцієнта за умови обмеженості правої частини рівняння. Розглянуто функціональну область розв'язку. Наведено умови, за яких існує кілька різних обмежених розв'язків рівняння.

  Скачати повний текст

Розвинуто новий підхід до теорії багатопараметричних лінійних стаціонарних динамічних систем (БЛСДС), зокрема, дисипативних і консервативних БЛСДС розсіяння для дискретного випадку. Побудовано та досліджено півгрупу операторів у гільбертовому просторі, асоційовану з системою розсіяння зазначеного типу, - багатопараметричний аналог півгрупи Лакса - Філліпса.

  Скачати повний текст

Розглянуто питання траєкторної теорії динамічних систем, що складаються з груп псевдо-гомеоморфізмів польського простору. Описано класи траєкторної еквівалентності зчисленних неергодичних груп псевдо-гомеоморфізмів польського досконалого простору. Роскрито поняття топологічної дії Маккі, асоційованої до коноцикла зі значеннями у польській групі. Надано класифікацію регулярних коноциклів з показниками у довільній польській групі, та транзитних коноциклів зі значеннями у довільній зчисленній групі. Наведено класифікацію нормальним ергодичним співвідношенням та підвідношенням скінченного індексу зчисленного ергодичного відношення еквівалентності загального положення. Знайдено повну систему інваріантів зовнішньої спряженості дій зчисленної групи елементами нормалізатора повної групи.

  Скачати повний текст

Доведено, що гільбертіан є лівим операторним модулем над алгеброю обмежених операторів (ОО) у ньому. Досліджено, що якщо кількість ідемпотентів більша або дорівнює 5, дана алгебра не може задовольняти поліноміальні тотожності. Доведено доцільність існування точного зображення *-алгебри необмеженими операторами (НО). Запропоновано поняття сумісних гладких векторів для скінченної сім'ї НО та для зображення *-алгебри НО. Розглянуто властивості просторів даних векторів.

  Скачати повний текст

Для моделей, що описуються рівняннями псевдопараболічного, псевдогіперболічного типів і рівняннями С.Л.Соболєва, побудовано теорію узагальненої оптимізації та необхідні числові методи. Для указаних моделей отримано апріорні оцінки з негативними нормами. Доведено теореми узагальненого розв'язання граничних задач. Знайдено явний вигляд градієнта та досліджено гладкість функціонала якості в задачі оптимізації з загальними керуючою функцією та функціоналом, що дає можливість застосовувати градієнтні наближені методи. Вивчено питання збіжності та обчислювальної стійкості наближених методів оптимізації градієнтного типу. Побудовано аналоги методу Гальоркіна для наближеного розв'язання псевдопараболічних і псевдогіперболічних граничних задач, а також доведено їх сильну збіжність.

  Скачати повний текст

Наведено результати дослідження для класу операторів Штурма -Ліувілля на півосі з нелокальною граничною умовою та експоненційноспадним комплексно-значним потеціалом. Запропоновано критерій скінченності множини власних значень і спектральних особливостей, а також необхідні і достатні умови розв'язності у випадках, коли спектральний параметр співпадає зі спектральною особливістю. Надано двосторонні оцінки для значень експоненційної функції операторів та її норми, оцінки розв'язків відповідних еволюційних рівнянь. Доведено, що для операторів продовження резольвенти з точністю до одновимірного доданку є псевдорезольвентною в деякому банаховому просторі. Одержано подібність операторів, які мають однакові (з кратностями) набори спектральних особливостей. Розв'язано рівняння теплопровідності на півосі, що зберігають просторову асимптотику.

  Скачати повний текст