У дисертації для операторів із дискретним спектром встановлено ізоморфізм між просторами кореневих векторів і векторів експоненціального типу. Побудовано функціональне числення в інтерполяційних класах символів для повних операторів із дискретним спектром, зокрема, для генераторів аналітичних півгруп. Наведено застосування до теорії еліптичних диференціальних операторів.

  Скачати повний текст

Дисертацію присвячено прямим та оберненим спектральним задачам для самоспряжених скінченнорізницевих операторів другого та четвертого порядків. Розв'язано обернену задачу спектрального аналізу про відновлення матриці за її спектральною функцією для скінченних і напівскінченних п'ятидіагональних симетричних матриць. Доведено, що будь-яка монотонна матричнозначна функція другого порядку, в якої існують усі моменти - спектральна для окремої можливо виродженої п'ятидіагональної матриці. Знайдено необхідні та достатні умови, яким повинна відповідати спектральна матриця-функція з метою невиродження відповідної п'ятидіагональної матриці. Введено новий тип спектральних даних для якобієвих матриць з обмеженими елементами, у яких дворазовий спектр відокремлений від одноразового та містить сегмент дворазового абсолютно неперервного спектра. Отримано інтегральне рівняння, що дозволило відновити матрицю за одержаними даними. За допомогою даного рівняння розв'язано задачу Коші для ланцюжка Тоди з початковими даними, що не стабілізуються.

  Скачати повний текст

Дисертацію присвячено дослідженню прямих і обернених апроксимаційних задач.

  Скачати повний текст

Розроблено новий підхід до вивчення послідовностей нескінченного рангу нестаціонарності у гільбертовому просторі. За даних умов введено нові характеристики нестаціонарності такі, як кореляційні різниці, квазіранг та інші, за допомогою яких характеризується нестаціонарність послідовностей і встановлюється зв'язок з вимірністю неермітових підпросторів операторів, що задають відповідну послідовність у гільбертовому просторі. За допомогою спектральної теорії несамоспряжених операторів вивчено структуру кореляційних різниць деяких класів нестаціонарних послідовностей та неоднорідних полів у гільбертовому просторі. Реалізовано новий підхід до одержання спектральних зображень нестаціонарних послідовностей, що базується на аналізі інваріантних підпросторів операторів, які дають еволюційне зображення послідовностей. Одержано операторне зображення розв'язку задачі Коші у гільбертовому просторі, що породжує послідовність нескінченного рангу нестаціонарності.

  Скачати повний текст

Визначено спектральні властивості нестандартного оператора Штурма - Ліувілля в скінченних різницях. У спектрі природним чином виділено "неперервну" і "дискретну" частини, розглянуто асимптоматику власних значень. Оцінки, одержані для власних і приєднаних функцій, а також резольвенти дозволяють описати їх тіні, тобто зв'язок з відповідними стандартними об'ємами. Простежено аналогію між отриманими результатами і властивостями, відкритими М.А.Наймарком з метою сингулярного несамоспряженого диференціального оператора на півосі.

  Скачати повний текст

Розглянуто теореми про повноту систем власних векторів скінченновимірних збурень оператора інтегрування. Доведено теореми про безумовні базиси сімей функцій.

  Скачати повний текст

Наведено результати дослідження для класу операторів Штурма -Ліувілля на півосі з нелокальною граничною умовою та експоненційноспадним комплексно-значним потеціалом. Запропоновано критерій скінченності множини власних значень і спектральних особливостей, а також необхідні і достатні умови розв'язності у випадках, коли спектральний параметр співпадає зі спектральною особливістю. Надано двосторонні оцінки для значень експоненційної функції операторів та її норми, оцінки розв'язків відповідних еволюційних рівнянь. Доведено, що для операторів продовження резольвенти з точністю до одновимірного доданку є псевдорезольвентною в деякому банаховому просторі. Одержано подібність операторів, які мають однакові (з кратностями) набори спектральних особливостей. Розв'язано рівняння теплопровідності на півосі, що зберігають просторову асимптотику.

  Скачати повний текст

Доведено, що гільбертіан є лівим операторним модулем над алгеброю обмежених операторів (ОО) у ньому. Досліджено, що якщо кількість ідемпотентів більша або дорівнює 5, дана алгебра не може задовольняти поліноміальні тотожності. Доведено доцільність існування точного зображення *-алгебри необмеженими операторами (НО). Запропоновано поняття сумісних гладких векторів для скінченної сім'ї НО та для зображення *-алгебри НО. Розглянуто властивості просторів даних векторів.

  Скачати повний текст

Вперше доведено теорему, яка обгрунтовує модифікований метод послідовних наближень (ММПН) для випадку, коли серед характеристичних чисел оператора є кратні з різними алгебраїчною та геометричною кратностями, запропоновано спосіб обчислення приєднаних функцій, які, разом з власними, відповідають таким характеристичним числам, а також спосіб апостеріорної оцінки точності обчислення характеристичних чисел, визначено область найбільш ефективного використання ММПН. Поширено ММПН на клас узагальнених спектральних задач з поліноміальними матричними пучками довільного степеня та квадратичними пучками лінійних цілком неперервних операторів, що діють у гільбертовому просторі. Здійснено числову та програмну реалізацію ММПН, проведено низку числових експериментів, за результатами яких показано переваги ММПН над іншими методами для різних класів задач, апробовано методику апостеріорної оцінки точності методу, виконано апостеріорну оцінку швидкості збіжності наближених розв'язків до точних.

  Скачати повний текст

Показано, що одержані результати застосовуються для вивчення спектральної структури скінченновимірних збурень вольтеррових операторів, дослідження спектральних задач, що пов'язані з канонічними системами диференціальних рівнянь.

  Скачати повний текст

Для нещільно визначених симетричних операторів у просторах Крейна одержано опис різних класів узагальнених резольвент. Досліджено множину самоспряжених розширень симетричного оператора, енергетична форма якого має скінченне число від'ємних квадратів, зокрема, його екстремальні розширення (Фрідріхса та Крейна-фон-Неймана) охарактеризовано у термінах функції Вейля. Одержано параметризацію узагальнених резольвент операторів із скінченним числом від'ємних квадратів, істотну роль у даному випадку відіграють нові узагальнені класи функцій Стілт'єса. Розроблено аналог теорії зображень симетричних операторів у просторах Крейна з власним і невласним масштабним підпростором. Зазначено, що дані результати застосовані до повної та зрізаної проблем моментів в узагальнених класах Неванліни та Стілт'єна, абстрактної та інтерполяційної проблеми Шура - Неванліни - Піка в узагальнених класах Шура.

  Скачати повний текст

  Скачати повний текст

Побудовано резольвенту диференціально-граничного оператора (ДГО) з інтегральними крайовими умовами у просторі скінченновимірних вектор-функцій на відрізку, а у випадку, коли крайові форми, якими визначаються ці умови, є регулярними за Біркгофом, знайдено асимпотичні формули для власних значень та власних функцій розглядуваного оператора та встановлено умови, які гарантують повноту системи цих функцій. Відомі раніше результати про замкненість та щільну визначеність збурень замкненого оператора, які змінюють не тільки закон дії оператора, а й область його визначення, перенесено на ширші класи операторів. Установлено умови максимальної дисипативності та самоспряженості розглядуваних операторів. Одержані результати застосовано під час дослідження деяких конкретних ДГО з операторними коефіцієнтами. Знайдено розв'язок задачі про мінімум однієї квадратичної форми, яка індукує ДГО типу Штурма - Ліувілля з операторним потенціалом.

  Скачати повний текст

Наведено класифікацію квадратичних *-алгебр з двома твірними та описано структуру пар самоспряжених операторів, що пов'язані невиродженим квадратичним співвідношенням. Для класу співвідношень, що мають місце внаслідок дії динамічної системи на спектрі самоспряженого оператора, доведено теореми, що дають змогу одержувати опис незвідних зображень таких співвідношень. Доведено теореми, які дають змогу описати незвідні зображення для класів операторних співвідношень, одержаних завдяки дії багатовимірної динамічної системи на сумісному спектрі комутативної сім'ї самоспряжених операторів. Дані теореми застосовано до опису зображень конкретних прикладів інфолютивних алгебр: класу квадратичних алгебр з трьома твірними, градуйованих аналогів алгебри sl(2), зображень нестандартної тривимірної сфери, зображень Гейзенберга для квантової групи E(2). Виділено клас інтегрованих зображень співвідношення [a, [a, b]] = 0 та побудовано для них комутативну модель. Введено клас центрованих однопараметричних напівгруп та вивчено їх властивості, установлено зв'язок між центрованими однопараметричними напівгрупами та зображеннями подвійних комутаторів. Доведено загальні теореми про вигляд та властивості комутативних моделей для широкого класу операторних співвідношень. Побудовано явний вигляд комутативної моделі для зображень алгебр Кунца та застосовано її до побудови та вивчення конкретних прикладів та класів цих зображень, зокрема, наведено явні формули для зображень типу III, які пов'язані з КМШ-станом на алгебрі Кунца.

  Скачати повний текст

Введено поняття підпростору типу К та на прикладі задачі Шура розроблено метод конструктивного розв'язку виродженої матричної інтерполяційної задачі. Запропоновано новий метод дослідження матричної інтерполяційної задачі Шура, що грунтується на синтезі теорії J-розтягальних матриць-функцій В.П.Потапова та теорії характеристичних функцій М.С.Лівшиця, Б.С.-Надя і Ч.Фояша. Доведено, що ранги правого радіуса та нормованого лівого радіуса межового круга Вейля у задачі Шура дорівнюють кратностям максимальних зсуву та козсуву відповідного цілком неунітарного стиску. Одержано факторизацію радіусів цього круга у невиродженій матричній задачі Шура й описано структуру множників, які названо дефектними функціями. Запропоновано поняття регулярного розширення шурівської матриці-функції та одержано опис усіх регулярних розширень у термінах зсува та козсува, які породжуються відповідним цілком неунітарним стиском, та показано, що найбільші регулярні розширення відповідають дефектним функціям.

  Скачати повний текст

Розроблено єдиний підхід для вивчення операторів, близьких до нормальних, за допомогою розкладання оператора на дійсну й уявну частини та полярного розкладання. Введено відповідні метричні вузли та їх визначальні функції, які є повними унітарними інваріантами належних вузлів. Побудовано сингулярні інтегральні моделі, доведено існування символів для них, одержано задачі Рімана - Гільберта, що зв'язують сильні межові значення визначальних функцій з характеристичними функціями. За допомогою визначальних та характеристичних функцій побудовано мозаїки та принципальні функції Пінкуса, а також вивчено їх зв'язки з символами та загальними символами. Одержано нові формули слідів, розроблено зв'язок принципальних функцій з індексом оператора T - zI, досліджено носії принципальних функцій. Побудовано функціональні моделі самоспряженого абсолютно неперервного сингулярного інтегрального оператора та деяких класів несамоспряжених операторів у вигляді множення на незалежну змінну. Введено поняття сингулярного метричного вузла та його характеристичної функції, на основі якого побудовано унітарну дилатацію еволюційного оператора, що відповідає диференціальному рівнянню зі змінним дисипативним оператором, вивчено відповідні хвильові оператори та оператор розсіяння.

  Скачати повний текст

Досліджено набори проекторів, що задовольняють співвідношення Темперлі - Ліба та ортогональності. Система співвідношень Темперлі - Ліба та ортогональності алгебрично описує конфігурацію підпросторів у гільбертовому просторі з попарно фіксованими кутами між ними. Наведено опис різноманітних конфігурацій, а також породжених ними алгебр. Одержано результати про структуру афінних алгебр Темперлі - Ліба серії А.

  Скачати повний текст

Проведено дослідження спектральних задач на класах 1-періодичних узагальних функцій. Вивчено спектри операторів, породжених на скінченному інтервалі несамоспряженими двочленними диференціальними виразами довільного парного порядку з потенціалом, який є 1-періодичною узагальненою функцією, та (пів)періодичними граничними умовами. З використанням методу ізоспектральної трансформації знайдено рівномірні на класах 1-періодичних узагальнених функцій неасимптотичні (ефективні) й асимптотичні оцінки власних значень. Відзначено високий порядок, сильну сингулярність і несиметричність збурення у сукупності з нелокальними граничними умовами як специфічні особливості дослідження спектральних задач на класах 1-періодичних узагальнених функцій. Результати наукового дослідження використано у процесі вивчення спектральних властивостей одновимірного періодичного самоспряженого оператора Шреддінгера. Знайдено рівномірні на класах 1-періодичних узагальнених функцій асимптотичні оцінки кінців, середин і довжин лакун неперервного спектра. Встановлено кількісну відповідність між гладкістю потенціалу та швидкістю спадання (зростання) довжин лакун як аналогів відомих формул В.О.Марченка у випадку гладкого потенціалу.

  Скачати повний текст

Для простого симетричного оператора S у просторі Понтрягіна доведено існування його самоспоряженого розширення з заданами регулярними точками. Одержано критерій рівномірної додатності (від'ємності) власних підпросторів самоспряженого розширення. Побудовано операторну модель для бідотичної інтерполяційної задачі Неванлінни - Піка в узагальнених класах Неванлінни та Стілтьєса у невиродженому та виродженому випадках. Установленно взаємно однозначну відповідність між множиною рішень задачі та множиною самоспряжених розширень модельного оператора. У випадку невиродженої матриці Піка одержано опис всіх її рішень. Для однобічної інтерполяційної проблеми одержано достатні умови відсутності виключних параметрів. Досліджено межову індефінітну інтерполяційну проблему Неванлінни - Піка. Для випадку невиродженої матриці Піка одержано опис усіх її розв'язків.

  Скачати повний текст

Досліджено спектральні властивості двох спеціальних класів несамоспряжених диференціальних операторів. Для сингулярних диференціальних операторів другого порядку з індефінітною вагою основну увагу приділено питанню подібності даних операторів до самоспряженого або нормального оператора.

  Скачати повний текст