Дисертацію присвячено дослідженню категорних властивостей функціональних просторів. Розв'язано задачі існування функторіальних топологій і функторіальних диференційованих структур із заданими властивостями на функціональних просторах. Встановлено загальні критерії існування продовження контраваріантних функторів на категорії Клейслі і підняття контраваріантних функторів на категорії Ейленберга-Мура монад в термінах існування природних перетворень спеціального вигляду. Ці критерії застосовано до контраваріантного функтора просторів неперервних функцій в топології поточкової збіжності та його трансфінітних ітерацій для різних монад в категоріях тихоновських просторів.

  Скачати повний текст

Проведено (асоціативну) бінарну операцію, задану на дискретному просторі S , до (асоціативної) правотопологічної операції на просторі гіперпросторів включення G ( S ) та його підпросторах і вивчено її взаємозв'язок з гратковою структурою простору G ( S ). Описано мінімальні (ліві) ідеали, топологічні й алгебричні центри, скоротні справа (зліва) елементи, праві (ліві) нулі, комутативність напівгруп гіперпросторів включення та максимальних зчеплених систем. Одержано дуальну характеризацію гіперпросторів включення зі скінченними носіями. Вивчено самозачеплені множини в групах та обчислено їх мінімальну потужність для деяких груп. Наведено методи теорії груп та напівгруп, теорії категорій, функторів і монад, загальні теоретико-множинні, комбінаторні та тополого-алгебраїчні методи.

  Скачати повний текст

Досліджено ізоморфізми вільних топологічних і паратопологічних груп. Як було встановлено М.І.Граєвим, два негомеоморфні простори можуть мати топологічно ізоморфні вільні топологічні групи. У 1980-х рр. представниками школи професора О.А.Архангельського зроблено значний поступ у вивченні поняття М-еквівалентності. Розвинуто метод "паралельних ретрактів" О.Г.Окунєва, зокрема, запропоновано метод "ортогональних ретрактів" для побудови М-еквівалентних просторів. Проведено дослідження поняття М-еквівалентності відображень. Зокрема, запропоновано нові методи побудови таких відображень. Наведено перелік властивостей відображень, що не зберігаються відношенням М-еквівалентності. Для абелевого випадку наведено класифікацію відображень, що мають праві обернені. У науковий обіг введено поняття М-еквівалентності пар топологічних просторів, наведено опис М-еквівалентності пар у термінах М-еквівалентності відображень. Проведено дослідження тополого-алгебраїчних властивостей вільних (абелевих) паратопологічних груп і вказано на можливість або неможливість перенесення раніше встановлених результатів, що стосуються поняття М-еквівалентності, на випадок вільних паратопологічних груп. Наведено перелік функторів-рефлексій, що зберігають ізоморфізми вільних (абелевих) паратопологічних груп і вільних однорідних просторів. Показано можливість використання теоретичних результатів наукового дослідження у топологічній алгебрі, загальній топології та функціональному аналізі.

  Скачати повний текст

Побудовано теорію звичайних і квантових гіпергруп. На локально компактні гіпергрупи перенесено основні теореми гармонічного аналізу для локально компактних груп. Розроблено спектральну теорію ортогональних поліномів кількох змінних. Описано інфінітезимальні об'єкти до гіпергруп, побудовані з груп Лі за допомогою конструкції унітальних орбітальних морфізмів. На одновимірні гіпергрупи перенесено теорію Лі. Запропоновано метод побудови квантових гіпергруп за допомогою умовних сподівань на квантових групах і побудовано кілька серій нових прикладів нетривіальних квантових гіпергруп. Для узгодженої пари груп Лі одержано явну формулу для знаходження пари циклів за допомогою пари коциклів на відповідній парі узгоджених алгебр Лі та побудовано нові приклади локально компактних квантових груп.

  Скачати повний текст

Розв'язано задачу про побудову функцій деякого функціонального класу за даним коливанням, а також наведено методику застосування топологічних ігор з метою вивчення зв'язків між сукупною та нарізною неперервністю. Охарактеризовано коливання нарізно неперервних функцій багатьох змінних на добутках матризованих просторів; описано коливання функцій першого та другого класів Бера й квазінеперервних функцій, визначених на просторах досить загальної природи, зокрема, на матризованих просторах. Отримано теореми про сукупню неперервність нарізно неперервних і подібних до них функцій багатьох змінних на графіках багатозначних відображень, які узагальнюють теореми Наміоки, Талаграна, Гансела - Труалліка та інших авторів і з їх допомогою встановлено нові аналоги теореми Елліса. Побудовано приклад нарізно неперервних скрізь розривної функції на добутку берівського і зліченно компактного просторів.

  Скачати повний текст

Виведено три нові локальні кардинальні інваріанти топологічних просторів (sb-, cs- та cs*-характер), досліджено їх базові властивості. Охарактеризовано різноманітні властивості типу обмеженості вільної (абелевої) топологічної групи F(X) (A(X)), що дозволяє довести існування моделей ZFC, в яких властивості Скіперза (Менгера) є l-інваріантними. Показано, що кожна сепарабельна метризовна абелева група H є підгрупою сепарабельної метризовної подільної абелевої групи G. Дане твердження доведено на підставі аксіоми вибору, що обумовлює невизначеність дискриптивної структури топології на подільній групі.

  Скачати повний текст

Доведено, що в напівгрупах монотонних функцій на множинах натуральних та цілих чисел не існує незвідних систем твірних. В напівгрупах коскіченних монотонних функцій на множинах натуральних і цілих чисел описано незвідні системи твірних. Побудовано зображення цих напівгруп через твірні та визначальні співвідношення. У напівгрупах всіх монотонних та у напівгрупах коскінченних монотонних функцій на множинах натуральних та цілих чисел знайдено групи автоморфізмів. Описано відношення спряженості та централізатори елементів з точністю до ізоморфізму у напівгрупі коскінченних монотонних функцій на множині натуральних чисел. Знайдено достатні умови, за яких замкнена піднапівгрупи напівгрупи всіх перетворень множини натуральних чисел буде майже вільною. Доведено майже вільність напівгрупи всіх перетворень множини натуральних чисел, її піднапівгруп монотонних функцій та ін'єктивних фукнцій.

  Скачати повний текст

Досліджено розкладність і корозкладність груп та однорідних просторів відносно родин підмножин, визначених алгебричними та тополого-алгебричними умовами.

  Скачати повний текст

Досліджено супералгебри Лейбница. У рамках досліджень побудовано аналог теорії ( ) -систему випадку, коли є супералгеброю Лейбница. Вивчено абелеві розширення супералгебр Лейбница. За допомогою вперше введених понять мультимодуля і мультикомплекса досліджено супералгебри Намбу в зв'язку з теорією ( ) -систем. Введено нові серії дужок Пуассона на диференціальних формах, диференціальних формах з векторними значеннями, мультивекторних полях за допомогою гамільтонових елементів. Знайдено нові приклади супералгебр Намбу - узагальнені якобіани. Описано важливий клас гамільтонових елементів у формальному варіаційному численні.

  Скачати повний текст

  Скачати повний текст

Установлено взаємозв'язки між груповими топологіями та топологіями паратопологічної групи на групі. Досліджено кардинальні інваріанти паратопологічних та напівтопологічних груп. Одержано достатні умови, за яких паратопологічна група є топологічною. Побудовано приклади, які вказують на необхідність цих умов для певних класів топологічних просторів. Доведено, що довільна локально компактна паратопологічна група є топологічною групою. Побудовано берівську цілком регулярну напівтопологічну групу зі зліченним характером, яка не є паратопологічною. Запропоновано приклад паратопологічної групи з нульововимірною гаусдорфовою топологією, яка не може бути послабена до гаусдорфової групової.

  Скачати повний текст

Побудовано теорію локальних лівотопологічних груп.. Описано скінченні напівгрупи ультрафільтрів зліченних топологічних груп. Побудовано розбиття довільної абелевої групи зі скінченним числом елементів порядку 2 на дві підмножини, що не містять суміжних класів у нескінченних підгрупах. Доведено, що екстремально незв'язну топологічну групу, яка містить зліченну дискретну незамкнену підмножину, без додаткових теоретико-множинних припущень побудувати неможливо. Класифіковано простори зліченних топологічних груп, топологія яких визначається компактними підмножинами. Доведено, що у всіх зліченних абелевих групах і полях існують нескінченні топологічно вільні підмножини.

  Скачати повний текст