Отримано явні формули для розв'язків лінійних задач у вигляді рядів за системами ортогональних функцій, а для нелінійних випадків вказано як знайти розв'язки методом послідовних наближень. Доведено нові метричні теореми про оцінки знизу малих знаменників, які виникають у розглядуваних задачах.

  Скачати повний текст

  Скачати повний текст

  Скачати повний текст

Доведено необхідну та достатню умови розв'язаності виродженої лінійної неоднорідної нетерової крайової задачі для систем звичайних диференціальних рівнянь (СЗДР). Встановлено умови біфуркації розв'язків слабкозбуреної виродженої лінійної крайової задачі для СЗДР за припущення, що породжувальна задача не має розв'язків за довільних неоднорідностей. Одержано необхідну та достатню умови існування розв'язків слабконелінійних вироджених СЗДР з нетеровою лінійною частиною в критичному випадку та досліджено зв'язок між необхідною та достатньою умовами. Запропоновано ітераційний алгоритм побудови розв'язків слабконелінійних вироджених СЗДР.

  Скачати повний текст

Знайдено умови стійкості вироджених лінійних систем диференціальних рівнянь з періодичними коефіцієнтами у випадку їх звідності до центральної канонічної форми, а також необхідну та достатню умову існування періодичних розв'язків виродженої системи диференціальних рівнянь у критичному випадку. Виведено асимптотичні формули для фундаментальної матриці, матриці монодромії та мультиплікаторів сингулярно збуреної системи першого порядку за різних випадків поведінки спектра межової в'язки матриць. Одержано достатні умови стійкості даної системи й існування в неї єдиного omega-періодичного розв'язку. Досліджено питання про існування і єдність omega-періодичного розв'язку та стійкість виродженої лінійної системи диференціальних рівнянь другого порядку у випадку простого та кратного спектра межової в'язки матриць. Побудовано асимптотику періодичних розв'язків сингулярно збурених систем диференціальних рівнянь першого та другого порядків з omega-періодичними коефіцієнтами за виконання знайдених умов їх існування та єдиності.

  Скачати повний текст

Вперше побудовано трикутні оператори перетворення для систем звичайних диференціальних рівнянь. Одержано теореми про єдиність визначення потенціальної матриці системи за матрицею монодромії та частиною стовпців матриці монодромії. Вперше знайдено необхідні та достатні умови повноти системи власних і приєднаних функцій крайових задач для систем звичайних диференціальних рівнянь. Розв'язано обернену задачу за спектральною матрицею - функцією для самоспряжених систем звичайних диференціальних рівнянь на півосі. Визначено теорему про однозначне визначення звичайного диференціального рівняння довільного порядку з аналітичними матричними коефіцієнтами за одним матричним стовпцем чи рядком матриці монодромії. Доведено теорему про необхідні умови існування трикутного оператора перетворення для звичайних диференціальних рівнянь вищих порядків.

  Скачати повний текст