Досліджено методи й алгоритми, спрямовані на підвищення ефективності експлуатації паралельних обчислювальних систем. Розроблено багатокрокові блокові методи розв'язання задачі Коші для звичайних диференціальних рівнянь, орієнтованих на реалізацію в обчислювальних системах з паралельною архітектурою. Обгрунтовано збіжності та доведено стійкість розроблених методів. Показано, що паралельні алгоритми знаходження початкових значень для блокових методів забезпечують необхідну точність обчислень. Доведено, що розроблені методи пов'язані з одноразовим обчисленням оператора переходу. Здійснено відображення розроблених алгоритмів на структури сучасних високопродуктивних обчислювальних систем.

  Скачати повний текст

Побудовано асимптотичний розв'язок задачі Коші для вироджених сингулярно збурених систем диференціальних рівнянь. Базуючись на відомих результатах асимптотичного аналізу загального розв'язку даної системи, розроблено метод безпосередньої побудови формального розв'язку початкової задачі під час виконання знайдених умов його існування та єдиності. Установлено критерії для визначення степенів малого параметра, з яких починаються відповідні формальні розвинення у різних випадках поведінки спектра межової в'язки матриць. Розроблено алгоритм для визначення коефіцієнтів відповідних формальних розвинень у випадку простого та кратного спектра межової в'язки матриць. Досліджено особливості побудови розв'язків у некритичному та критичному випадках. Знайдено умови, за виконання яких побудовані формальні розв'язки є асимптотичними розвиненнями відповідних точних розв'язків.

  Скачати повний текст

Розглянуто задачу Коші для диференціального рівняння вищого порядку з лінійними замкненими операторними коефіцієнтами, що діють у комплексних банахових просторах. Описано підпростір розв'язків задачі Коші під час степеневих обмежень на зростання резольвенти поліноміального характеристичного жмутка рівняння у правій півплощині. Розкрито зв'язок між різними типами часткової та повнократної коректності, їх ознаки для явних та вироджених рівнянь у термінах обмежень на резольвенту характеристичного жмутка. Проаналізовано умови коректності у термінах обмежень на операторні коефіцієнти рівняння у випадку гільбертового простору. Вивчено ознаки повноти і базисності елементарних розв'язків неявного рівняння порядку n у класах усіх розв'язків та нормальних розв'язків з обмеженнями на показник експоненціального зростання. Сформульовано обмеження в термінах поведінки резольвенти в усій комплексній площині та деякій лівій півплощині.

  Скачати повний текст

  Скачати повний текст

  Скачати повний текст

Досліджено топологічну структуру та вивчено властивості основних операцій у таких просторах. Надано характеристику даних просторів у термінах поведінки функцій з цих просторів та їх похідних на дійсній вісі. Знайдено необхідні й достатні умови, за яких оператор диференціювання нескінченного порядку є коректно визначений та обмежений у просторах типу C. За цього такий оператор трактується як псевдодиференціальний оператор, побудований за певним аналітичним символом. Доведено теореми про перетворення Фур'є просторів типу C (теореми двоїстості). Установлено, що таким перетворенням простори типу C відображаються у простори такого ж типу.

  Скачати повний текст

Для таких рівнянь одержано результати, подібні до відомих у теорії задачі Коші для параболічних псевдодиференціальних рівнянь зі сталим символом і початковими умовами, які є узагальненими функціями типу розподілів. Досліджено властивості перетворення Фур'є функцій з простору Ф.

  Скачати повний текст

  Скачати повний текст

Для лінійних параболічних систем побудовано й одержано оцінки матрицанта задачі Коші з імпульсними умовами, а також оцінки похідних розв'язку даної задачі у нормованих просторах Гельдера. Знайдено зображення фундаментальної матриці, за допомогою якої описано розв'язок імпульсної задачі зі змінними коефіцієнтами. Для лінійних параболічних рівнянь вищого порядку побудовано й одержано оцінки матрицанта задачі Коші для рівняння зі змінними коефіцієнтами, встановлено умови, за яких існує періодичний розв'язок задачі з імпульсною дією та розв'язок двоточкової задачі, одержано оцінки їх похідних. Для лінійних параболічних псевдодиференціальних рівнянь вищого порядку побудовано фундаментальну систему розв'язків, доведено леми про перетворення Фур'є фундаментальної системи розв'язків та її похідних, встановлено коректну розв'язність задачі Коші.

  Скачати повний текст

Досліджено задачі з нелокальними багатоточковими та нелокальними інтегральними умовами за виділеною змінною й умовами періодичності за рештою координат для строго гіперболічних рівнянь зі змінними коефіцієнтами, а також задачу з початковими умовами для безтипних лінійних рівнянь та систем рівнянь високого порядку зі сталими коефіцієнтами. Встановлено умови коректності та побудовано розв'язки даних задач у вигляді рядів Фур'є. Доведено нові метричні твердження щодо оцінювання знизу малих знаменників, які виникли під час побудови та вивчення властивостей розв'язків розглянутих задач.

  Скачати повний текст

  Скачати повний текст

Досліджено точність методів без насичення точності для дискретизації абстрактної задачі Коші. У випадку скінченної гладкості початкового вектора для рівнянь I та II порядків у гільбертовому просторі з самоспряженим додатно визначеним сталим оператором одержано нові інтегральні оцінки швидкості збіжності методу перетворення Келі і доведено їх майже (з точністю до логарифма) непокращуваність за порядком. Показано, що за аналітичного початкового вектора метод перетворення Келі є експоненціально збіжним, а оцінка його точності - непокращуваною за порядком. Побудовано паралельний алгоритм розв'язування задачі Коші для лінійного диференціального рівняння першого порядку зі змінним оператором зі сталою областю визначення. Знайдено апріорні оцінки точності методу, якщо оператор сильно позитивний у банаховім або самоспряжений додатно визначений у гільбертовому просторах. Досліджено стійкість розв'язків та виконано числову реалізацію алгоритму.

  Скачати повний текст

Розвинуто теорію періодичної задачі Коші для еволюційних рівнянь з псевдодиференціальними операторами нескінченного порядку та двоточкової задачі для еволюційних рівнянь з псtвдо-Бесселевими операторами нескінченного порядку з початковими та крайовими даними, які є узагальненими функціями типу ультрарозподілів і розподілів. Знайдено умови, за яких зазначені оператори визначені та є неперервними у відповідних просторах основних функцій. Наведено зображення розв'язків, досліджено структуру та властивості фундаментальних розв'язків.

  Скачати повний текст

Одержано точні необхідні та достатні умови миттєвого виникнення інтерфейсів у задачах Коші для вироджених і сингулярних квазілійних параболічних рівнянь з абсорбцією. Вивчено вплив неоднорідності середовища та неоднорідності абсорбції на явище миттєвого виникнення інтерфейсу. Доведено гладкість інтерфейсу розриву коефіцієнтів для розв'язку параболічного рівняння з розривними коефіцієнтами та розривним джерелом.

  Скачати повний текст

Одержано умови існування та неіснування глобальних розв'язків задачі Коші для квазілінійного параболічного рівняння у випадку початкових даних, що повільно прямують до нуля та належать до деякого вагового простору. Доведено теореми типу Фуджити для виродного параболічного рівняння з нелокальним джерелом. Вперше одержано умови існування глобального розв'язку задачі Коші для квазілінійного параболічного рівняння з дивергентною головною частиною з джерелом, що містить нелокальний множник з від'ємним показником степеня. Розглянуто рівняння з подвійною нелінійністю та з підлінійними коефіцієнтами. Відзначено, що дані результати є новими навіть для напівлінійного рівняння. Знайдено умови глобальної розв'язності та відсутності обмежених розв'язків задачі Коші для природного параболічного рівняння з нелокальним джерелом у випадку початкових функцій, що повільно спадають до нуля.

  Скачати повний текст

Наведено метод оберненої спектральної задачі, який адаптовано до інтегрування диференціально-різницевих ланцюжків, породжених рівнянням Лакса, пов'язаних з унітарними та нормальним операторами. Запропоновано та деталізовано метод дослідження неізоспектральних ланцюжків (на відміну від класичного ізоспектрального випадку), породжених рівнянням Лакса, пов'язаним з самоспряженими й унітарними операторами. Розроблено метод дослідження неізоспектральних диференціально-різницевих потоків коефіцієнтів Верблунського як частинного випадку ланцюжків, породжених унітарними операторами у межах запропонованого методу. Класифіковано ланцюжки, що пропускають інтегрування, та наведено нові приклади з його застосуванням.

  Скачати повний текст