Вперше вивчено питання використання теплових моментів у ролі крайових умов та умов перевизначення. Доведено, що теплові моменти можна використовувати як джерело додаткової інформації під час визначення декількох параметрів теплового процесу. Виявлено умови існування та єдності розв'язку наступних задач: обернених задач визначення старшого коефіцієнта, коефіцієнта при невідомій функції та множника у вільному члені рівняння; обернених задач одночасної ідентифікації старшого коефіцієнта та коефіцієнта при молодшій похідній; обернених задач знаходження коефіцієнта температуропровідності у вигляді функції, що містить два невідомі залежні від часу коефіцієнти, коли залежність від x задана. Зазначено, що питання єдності розв'язку відповідних обернених задач встановлюється незалежно від питання існування розв'язку та зводиться до дослідження обернених задач визначення невідомого джерела в параболічному рівнянні з використанням властивостей теплових потенціалів і систем інтегральних рівнянь Вольтерра другого роду. Встановлено, що умови єдності роз'язку відповідних обернених задач складають лише одну з умов, потрібних для існування розв'язку.

  Скачати повний текст

Проведено теоретичні дослідження в області нескінченновимірного аналізу. Побудовано розв'язки задачі Коші для нестаціонарних параболічних рівнянь з суттєво нескінченновимірними операторами у деякому банаховому просторі функцій, заданих на нескінченновимірному сепарабельному дійсному гільбертовому просторі. Встановлено, що суттєво нескінченновимірні оператори природним чином узагальнюють класичний оператор Лапласа - Леві зі збереженням всіх його основних властивостей. Доведено, що задача Коші для найпростішого нестаціонарного параболічного рівняння з суттєво нескінченновимірними операторами є рівномірно коректною. Знайдено еволюційні сім'ї для рівнянь з суттєво нескінченновимірними операторами, що збурено векторним полем певного класу. Побудовано розв'язки задачі Коші для еволюційного суттєво нескінченновимірного рівняння на обмеженій поверхні скінченної корозмірності.

  Скачати повний текст

Дисертація присвячена дослідженню властивостей загальних параболічних рівнянь, характерною особливістю яких є подвійне виродження. Одержано точні умови наявності інерції та зменшення розмірів носія. Отримано оцінки, які повністю описують стартовий рух носія розв'язку в залежності від локальних властивостей початкової функції. Отримано умови, які гарантують наявність локалізації та обмеженість розв'язків задач Коші-Неймана для параболічних рівнянь загального виду, у випадку, коли гранична функція необмежено зростає зі зростом часу до деякого фіксованого Т. Зменшено умови на регулярність граничної функції. Узагальнено результати про обмеженість розв'язку задачі Коші-Неймана для класичного рівняння теплопровідності майже всюди в будь-якій строго внутрішній підобласті у випадку граничного режиму з загостренням. Результати дисертації можуть бути використані для порівняльного аналізу різних властивостей розв'язків загальних параболічних задач.

  Скачати повний текст

  Скачати повний текст

Розглянуто початково-крайову задачу для загального лінійного рівномірно параболічного рівняння другого порядку з крайовою умовою Вентцеля та її узагальнення - параболічну задачу спряження, в якій одна з умов спряження, як і крайова умова Вентцеля, має вигляд параболічного рівняння за дотичними змінними. Відзначено, що такі задачі є важливими для застосувань у теорії випадкових процесів, а також у теорії рівнянь з частинними похідними. Класичну розв'язність доліджуваних задач у просторах Гельдера встановлено з використанням методів теорії потенціалу. Розв'язки цих задач представлено у вигляді суми параболічного потенціалу простого шару та теплових потенціалів Пуассона. За аналітичними методами одержані результати застосовано до вивчення деяких проблем з теорії дифузійних процесів. Зокрема, побудовано інтегральне зображення напівгрупи операторів, що описує найбільш загальний клас неперервних необривних марковських процесів у скінченновимірному евклідовому просторі, які виникають внаслідок розв'язання задачі про склеювання двох дифузійних процесів на гіперплощині. Доведено, що одержані процеси можна трактувати як дифузійні процеси, для яких колмогорівські локальні характеристики руху (вектор переносу та матриця дифузії) існують у класичному сенсі і є кусково-неперервними функціями.

  Скачати повний текст

Досліджено крайові та мішані задачі для диференціальних рівнянь з частинними похідними в кусково-однорідних середовищах. Запроваджено новий клас інтегральних і гібридних інтегральних перетворень типу Мелера - Фока, породжених узагальним диференціальним оператором Лежандра. Розглянуто новий клас інваріантних диференціальних рівнянь з узагальненим оператором Лежандра в однозв'язних областях евклідового простору та на ріманових многовидах. Доведено теореми про інтегральні зображення точних розв'язків крайових задач для диференціальних рівнянь еліптичного типу другого порядку в кусково-однорідних циліндричних і сферичних середовищах. Аналогічні теореми одержано у випадку мішаних задач у даних середовищах для диференціальних рівнянь параболічного типу другого порядку. Побудовано інтегральні перетворення типу Мелера - Фока для однорідних і кусково-однорідних середовищ, породжених узагальненим диференціальним оператором Лежандра другого порядку, обгрунтовано можливості їх застосування в теорії диференціальних рівнянь з частинними похідними та задачах математичного аналізу. Доведено теореми про інтегральні зображення дельта-функції Дірака, запроваджено нові класи інтегральних перетворень з невідокремленими змінними типу Бохнера - Лежандра та Бохнера - Шестопала в однозв'язних областях евклідового простору та на ріманових многовидах. Доведено теореми про інтегральні зображення фундаментальних розв'язків задачі Коші для інваріантних рівнянь параболічного та гіперболічного типів та фундаментального розв'язку для інваріантних рівнянь еліптичного типу з узагальненим оператором Лежандра в однозв'язних областях евклідового простору та на ріманових многовидах.

  Скачати повний текст

Побудовано класи коректної розв'язності основних крайових задач для параболічних та еліптичних рівнянь з особливостями та виродженнями. Досліджено параболічні рівняння другого порядку зі степеневими особливостями довільного порядку за часовою зміною у фіксований момент часу, та довільними просторовими змінними на деякій множині точок усередині області або на бічній межі, а також з нелокальною умовою за часовою змінною. Для даних рівнянь доведено коректну розв'язність першої крайової задачі, а також задачі з косою похідною, односторонньої крайової задачі та нелокальної задачі Коші. Встановлено коректну розв'язність задачі Діріхле, задачі з косою похідною та односторонньої крайової задачі для еліптичних рівнянь другого порядку з будь-якими степеневими особливостями за довільними змінними на межі області або на деякій множині усередині області. Результати дослідження застосовано до задач оптимального керування системами, що описуються параболічними крайовими задачами у випадках внутрішнього, граничного та фінального керування.

  Скачати повний текст

Одержано точні аналітичні розв'язки ряду одномірних лінійних крайових задач у межах математичної моделі релаксаційної теплопровідності, що враховує часи релаксації теплового потоку та температури (однорідні та кусково-однорідні середовища). Проведено математичне моделювання високотемпературного процесу горіння в нерівноважному середовищі у випадку нелінійних джерел. Запропоновано наближені методи розв'язку відповідної нелінійної крайової задачі.

  Скачати повний текст

Дисертацію присвячено питанням коректності обернених задач для лінійних параболічних рівнянь другого порядку з однією просторовою змінною. Розроблено методику дослідження обернених задач, що базується на зведенні обернених задач до систем операторних рівнянь другого роду і аналозі методу параметрикса. Застосування даної методики дало можливість встановити умови існування та єдиності розв'язку обернених задач ідентифікації залежних від часу старшого коефіцієнта рівняння теплопровідності і множника вільного члена параболічного рівняння у випадку нелокальних крайових умов і умов перевизначення, знаходження залежного від часу множника старшого коефіцієнта параболічного рівняння, одночасного визначення двох залежних від різних аргументів коефіцієнтів параболічного рівняння. Досліджено також нехарактеристичну задачу Коші для рівняння теплопровідності і задачі, в яких використовується її розв'язок - обернена задача в двошаровому середовищі і задача визначення коефіцієнта теплообміну в крайовій умові третього роду.

  Скачати повний текст

Досліджено обернені задачі для параболічних рівнянь з виродженням і встановлено умови коректності визначення залежного від часу старшого коефіцієнта. З використанням властивостей функції Гріна, методу інтегральних рівнянь і теореми Шаудера про нерухому точку цілком неперервного оператора встановлено існування та єдність класичних розв'яків обернених задач для параболічних рівнянь з виродженням, коли невідомий залежний від часу коефіцієнт прямує до нуля за t, що прямує до +0, за степеневим законом. Вивчено вплив молодших членів на умови однозначного визначення залежного від часу коефіцієнта у повному параболічному рівнянні другого порядку у випадку слабкого та сильного степеневого виродження. Знайдено умови коректної розв'язності оберненої параболічної задачі з довільним прямуванням до нуля старшого коефіцієнта.

  Скачати повний текст