На базі методу Вішика-Люстерника розроблено алгоритм побудови асимптотичних розв'язків крайових задач Діріхле та Неймана. Доведено теореми про порядок, за яким побудовані асимптотичні розв'язки задовольняють вихідні задачі. Для визначення в явному вигляді асимптотичних розв'язків сформульовано відповідні задачі Коші, крайові та мішані задачі, доведено леми про властивості примежевих і кутових функцій.

  Скачати повний текст

Вивчено задачу Коші для параболічних рівнянь, що вироджуються, з неоднорідною щільністю та джерелом. Для параболічних рівнянь із подвійною нелінійністю в головній частині, неоднорідною щільністю й степеневим джерелом (як однорідним, так і неоднорідним) уперше одержано умови існування та неіснування розв'язків глобально за часом. У випадку існування глобального розв'язку одержано точну оцінку поводження розв'язку для великих значень часу, зокрема, для функції щільності, що досить швидко спадає на нескінченності, одержано універсальну (тобто незалежну від початкової функції) оцінку розв'язку. У випадку неіснування глобального за часом розв'язку одержано універсальну оцінку поблизу часу загострення у випадку однорідного джерела. Встановлено локальну неперервність за Гельдером узагальнених розв'язків широкого класу нелінійних параболічних рівнянь з вимірними коефіцієнтами й неоднорідною щільністю.

  Скачати повний текст

Досліджено галілеївську інваріантність системи нелінійних рівнянь дифузії та реакції дифузії. Добуто нелокальні перетворення еквівалентності системи нелінійних рівнянь дифузії. Встановлено вигляд системи нелінійних рівнянь дифузії, яка лінеаризується дією нелокальних перетворень еквівалентності. Знайдено нелокальні формули розмноження розв'язків для системи нелінійних рівнянь дифузії. Проведено симетрійну редукцію та знайдено точні розв'язки галілеївськи інваріантної системи нелінійних рівнянь дифузії. Виявлено нелокальні анзаци, які редукують систему нелінійних рівнянь дифузії до системи звичайних диференціальних рівнянь. Проведено повну групову класифікацію системи нелінійних рівнянь хемотаксису.

  Скачати повний текст

Наведено опис асимптотичної динаміки рівнянь реакції дифузії у тонкій двошаровій області за наявності умов спряження на контактній межі. Досліджено глобальні атрактори та інваріантні багатовиди дисипативної компактної півгрупи. Одержано теореми про неперервність у метриках Хаусдорфа глобальних атракторів. Встановлено достатню умову стабілізації кожної траєкторії до єдиної нерухомої точки. Доведено, що всі траєкторії з експоненціальною швидкістю прямують до нескінченновимірного лінійного підпростору фазового простору, якщо область, в якій задано рівняння, є досить тонкою, а параметри задачі певним чином узгоджені. Встановлено, що глобальний атрактор вихідної півгрупи збігається з атрактором граничної півгрупи, заданої на інваріантному підпросторі. Виявлено існування двох лінійних функціоналів, які цілком визначають асимптотичну динаміку півгрупи, якщо нелінійні члени рівняння є дійсними аналітичними.

  Скачати повний текст