Об'єкт дослідження - процес відновлення просторового розподілу щільності сукупності корисних копалин як тривимірної функції між системою нерівномірно розміщених просторових кривих у вертикальних площинах. Методи дослідження - основні результати роботи отримані на основі теорії функціонального аналізу (для дослідження та розробки методів оцінки запасів корисних копалин), обчислювальної математики (для отримання вигляду базисних поліномів (або сплайнів) на системі просторових неперетинних кривих), теорії наближення функцій кількох змінних з використанням інтерлінації функцій (для побудови математичних моделей відновлення розподілу щільності досліджуваного об'єкту за даними просторових кривих). В основі чисельної реалізації лежить інтерлінація функцій трьох змінних з використанням даних системи просторових неперетинних кривих у вертикальних площинах. Теоретичні та практичні результати - розроблені математичні моделі і методи розв'язання задачі відновлення розподілу щільності сукупності корисних копалин як тривимірної функції методами інтерлінації функцій трьох змінних на системі неперетинних просторових кривих дозволяє значно приблизитись до загальної моделі розподілу досліджуваних об'єктів. Розроблені модифікації методів дозволяють на основі інформації про наявність об'єкту відновлювати відповідний шар тієї чи іншої корисної копалини. Наукова новизна отриманих результатів полягає в тому, що уперше розроблено і досліджено метод відновлення матричної функції від трьох змінних між заданою системою ліній, які описують задану систему свердловин; з цього методу як частинний випадок випливає метод відновлення функції трьох змінних між системою заданих ліній, що описують систему свердловин методами поліноміальної, глобальної та сплайн-інтерлінації функцій трьох змінних; проведено теоретичне порівняння методів інтерлінації матричних функцій, і вироблені рекомендації про те, які допоміжні функції в операторах матричних функцій краще використовувати. Уперше сформульовані і доведені теореми про те, що оператори інтерлінації матричних функцій трьох змінних мають сліди цієї матричної функції в точках кожної із заданих лінії. Уперше побудовано матричну математичну модель просторового розподілу щільності досліджуваного об'єкту між системою просторових кривих у вертикальних площинах за даними просторових неперетинних кривих методами інтерлінації функцій трьох змінних. Набули подальшого розвитку методи відновлення функції трьох змінних між системою заданих ліній, що описують систему похилих свердловин методами поліноміальної, глобальної та сплайн-інтерлінації функцій трьох змінних, що на відміну від попередніх підходів надає можливість на основі інформації про наявність об'єкту відновлювати відповідний шар тієї чи іншої корисної копалини. Вдосконалено метод оцінки запасів корисних копалин за даними з кернів похилих свердловин на основі запропонованих в дисертації математичних моделей їх розподілу, що надає можливості для оптимізації вибору напрямків видобутку корисних копалин. Дисертаційна робота виконувалася відповідно до плану науково-дослідних робіт кафедри вищої та прикладної математики Української інженерно-педагогічної академії в рамках НДР № 13-01 «Розробка та дослідження нового методу розвідки і розробки родовищ корисних копалин на основі інтерлінації функцій» (№ НДР 0109U008661). Розроблені обчислювальні методи відновлення розподілу щільності сукупності корисних копалин впроваджені в навчальний процес в Української інженерно-педагогічної академії при підготовці студентів та магістрів, що навчаються за спеціальністю «Нафтогазова справа». Розроблені обчислювальні методи можуть бути використані при знаходженні оцінки запасів корисних копалин з урахуванням результатів буріння похилих свердловин, та проектуванні гірничих підприємств.^UThe object of research is the process of restoring the spatial distribution of the density of the aggregate of minerals as a three-dimensional function between a system of unevenly spaced curves in vertical planes. Research methods - the main results of the work were obtained on the basis of the theory of functional analysis (for the study and development of methods for assessing mineral reserves), computational mathematics (for obtaining the form of basis polynomials (or splines) on the system of spatial noncontinuous curves), the theory of approximation of functions of several variables using the interlineation of functions (for constructing mathematical models of restoration of the distribution of the density of the investigated object according to the data of spatial curves). The basis of numerical realization is the interlinеation of the functions of three variables using the data of the system of spatial noncontinuous curves in vertical planes. Theoretical and practical results - developed mathematical models and methods for solving the problem of restoring the density distribution of the aggregate of minerals as a three-dimensional function by the methods interlineation the functions of three variables on the system of non-perturbed spatial curves allows a significant approximation to the general model of the distribution of investigated objects. The developed modifications of methods allow, based on information about the presence of an object, to restore the corresponding layer of one or another mineral. The scientific novelty of the obtained results is that for the first time the method of restoring the matrix function from three variables between a given system of lines describing a given well system is developed and investigated; from this method, as a partial case, the method of restoring the function of three variables between a system of predetermined lines describing the well system using the polynomial, global, and spline-interlineation functions of three variables follows from this method; the theoretical comparison of the methods of the interlineation of matrix functions is carried out and recommendations are made on which auxiliary functions in matrix functions operators are better to use. For the first time, theorems have been formulated and proved that the operators of the interlineation of matrix functions of three variables have traces of this matrix function at the points of each given line. For the first time, a matrix mathematical model of the spatial distribution of the density of the investigated object between a system of spatial curves in vertical planes according to the data of spatial non-perturbed curves by methods interlineation of functions of three variables was constructed. The further development of the methods for restoring the function of three variables between the system of given lines describing the system of inclined wells by the methods of polynomial, global and spline-interlineation of functions of three variables has been developed, which, unlike the previous approaches, allows us to retrieve the appropriate layer on the basis of information about the presence of an object or other minerals. The method of estimating mineral resources according to the data from the cores of inclined wells is improved on the basis of the mathematical models of their distribution offered in the dissertation, which provides opportunities for optimization of the choice of directions of mining of minerals. Dissertation work was carried out in accordance with the plan of research work of the Department of Higher and Applied Mathematics of the Ukrainian Engineering and Pedagogical Academy within the framework of research work # 13-01 "Development and research of a new method of exploration and development of mineral deposits on the basis interlineation of functions" (NDR 0109U008661). The calculated computational methods for restoring the distribution of the density of the aggregate of minerals have been introduced into the educational process at the Ukrainian Engineering and Pedagogical Academy in the preparation of students and masters studying in the specialty "Naftohazov case". The calculated computational methods for restoring the distribution of the density of the aggregate of minerals have been introduced into the educational process at the Ukrainian Engineering and Pedagogical Academy in the preparation of students and masters studying in the specialty "Naftohazov case". The computational methods developed can be used in finding the estimation of mineral resources, taking into account the results of drilling of inclined wells, and the design of mining enterprises.

В роботі досліджено моделі та методи комбінаторної оптимізації, щовикористовують властивості множини циклічних перестановок і їхзастосування для розв'язання наукових і прикладних задач, серед яких —задачі транспортної маршрутизації.Досліджено властивості циклічних перестановок при їх відображенні вевклідів простір. Використовуються поліедральні властивості перестановок іциклічних перестановок, що відповідають підмножині вершинперестановочного багатогранника. Набув подальшого розвитку кластранспозицій суміжності для перестановок різних елементів, представникиякого породжують перестановки, відповідні суміжним вершинамперестановочного многогранника. Описано властивості суміжності іособливості зміни циклічної структури перестановок при впливі транспозиційсуміжності. Проведено класифікацію циклічних перестановок в залежності відвпливу транспозицій суміжності на їх циклічну структуру. Доведеновідповідні твердження про властивості транспозицій суміжності.Набули подальшого розвитку методи розв'язання задач оптимізаціїлінійних функцій на множині циклічних перестановок, зокрема, з лінійнимиобмеженнями. Для розв'язання задачі без обмежень запропоновано підхід, 20заснований на комбінації методу гілок та меж і евристики. Запропонованометод пошуку наближеного розв'язку задачі без обмежень з використаннямвластивостей транспозицій суміжності. Для розв'язання задачі оптимізаціїлінійних функцій на множині циклічних перестановок з лінійнимиобмеженнями запропоновано метод на основі випадкового пошуку, звикористанням транспозицій суміжності для розв'язання допоміжної задачі.Набув подальшого розвитку метод комбінаторної оптимізації на основіциклічних трансферів в частині генерації циклічних трансферів від'ємноївартості. Метод застосовано для покращення розв'язків задач транспортноїмаршрутизації, зокрема, задачі вивозу і доставки (Pickup and DeliveryProblem), отриманих за допомогою евристики.Для розв'язання задач, досліджених в роботі, розроблено програмнезабезпечення, що реалізує запропоновані моделі та методи комбінаторноїоптимізації. Наведено результати обчислювальних експериментів, проведеноаналіз результатів, який підтверджує ефективність запропонованих підходів.Отримані результати можуть бути використані при комп'ютерномумоделюванні і розв'язанні задач в областях архівації даних і криптографії,квантових обчислень, біоінформатики.Ключові слова: комбінаторна оптимізація, циклічні перестановки,транспозиції, перестановочний багатогранник, транспозиції суміжності,лінійна функція, метод гілок та меж, евристика, задача вивозу і доставки.^UThe paper investigates models and methods of combinatorial optimization thatuse the properties of a set of cyclic permutations and their application for solvingscientific and applied problems, including the vehicle routing problems.The properties of cyclic permutations under their mapping into Euclideanspace are investigated. The polyhedral properties of permutations and cyclicpermutations corresponding to the subset of vertices of the permutation polytope are 22used. A class of adjacency transpositions is introduced for permutations of variouselements, whose representatives generate permutations corresponding to adjacentvertices of the permutation polytope. The properties of adjacency and thepeculiarities of changing the cyclic structure of permutations under the influence ofadjacency transpositions are described. The classification of cyclic permutations iscarried out depending on the influence of adjacency transpositions on their cyclicstructure. The corresponding statements about the properties of adjacencytranspositions are proved.Methods for solving optimization problems for linear functions on the set ofcyclic permutations, in particular, with linear constraints, have been furtherdeveloped. An approach based on a combination of the branch-and-bound algorithmand heuristics is proposed to solve the problem without constraints. A method isproposed for finding an approximate solution to the problem without constraintsusing the properties of adjacency transpositions. To solve the problem ofoptimization of linear functions on the set of cyclic permutations with linearconstraints, a method is proposed based on random search, using adjacencytranspositions to solve an auxiliary problem.The method of combinatorial optimization based on cyclic transfers has beenfurther developed in terms of generating cyclic transfers of negative value. Themethod is applied to improve the solutions obtained using heuristics of transportrouting problems, in particular, the Pickup and Delivery Problem.The software has been developed that implements the proposed models andmethods of combinatorial optimization, to solve the problems studied in the work.The results of numerical experiments are represented, the analysis of the results iscarried out, confirming the effectiveness of the proposed approaches.The results obtained can be used in computer modeling and solving problemsin the fields of data archiving and cryptography, quantum computing,bioinformatics.Keywords: combinatorial optimization, cyclic permutations, transpositions,permutation polytope, adjacency transpositions, linear function, branch-and-boundalgorithm, heuristics, pickup and delivery problem.