Дисертаційне дослідження присвячене локально складним функціям із фрактальними властивостями, які означаються у термінах зображення чисел ланцюговими дробами (елементарними та неелементарними). Побудовано неперервні перетворення відрізка, які зберігають хвости ланцюгового A-зображення чисел і хвости зображення чисел елементарними ланцюговими дробами. Конструктивно доведено, що множина неперервних перетворень відрізка [0,5;1], які зберігають хвости ланцюгового A-зображення чисел, відносно операції "суперпозиція функцій"; утворює нескінченну некомутативну групу. Для нововведеної функції, названої квазіінверсоромцифр елементарного ланцюгового зображення чисел, доведено ніде немонотонність, канторовість множини значень, отримано опис множин рівнів. Сконструйовано аналог неперервної ніде не диференційовної функції Буша-Вундерліха і Трибін-функції, чий аргумент розглядається у формі негатрійкового зображення, а значення функції - у формі ланцюгового A-зображення. Доведено, що вона є неперервною на [0,5;1] ніде не монотонною функцією необмеженої варіації. Описано властивості графіка цієї функції і множин її рівнів. Отримано оцінки наближень дійсних чисел ланцюговими A_2-дробами. Закладено основи тополого-метричної теорії зображення чисел ланцюговими A_3-дробами.^UThe dissertation is devoted to the locally complex functions with fractal properties that are defined in terms of continued fractions (elementary and not elementary). Continuous transformations of closed interval that preserve the tails of representation of numbers by A_2-continued fractions and elementary continued fractions are built. It is constructively proved that the set of all continuous transformations of [0,5;1] that preserve tails of an A-continued fraction representation together with an operation "function composition (superposition)" form an infinite non-commutative group. For a newly defined function called quasi-inversor of the digits of the elementary continued fraction representationof numbers it is proved its nowhere monotony and cantority of set of its values. Description of the sets of its levels is obtained. Analogous of the continuous nondifferentiable functions of the Bush-Wunderlich function and the Tribin-function is constructed. In this function argument considered in the form of a nega-3-adic representation of numbers and the value of the function considered in the form of A-continued fraction representation of number. It is proved that it is continuous on [0,5;1] nowhere monotone function and has unlimited variation. The properties of the function graph and its level sets are described. Estimates of the approximation of real numbers by A_2-continued fractions are obtained. Thefoundations of the topological-metric theory of the representation of numbers by A_3-continued fractions are set.