Обгрунтовано систему умов, яка визначає однопараметричні сім'ї розв'язків. Знайдено систему коефіцієнтних умов, за яких нелінійні диференціальні рівняння (НЛДР) 3-го порядку P-типу мають двохпараметричну сім'ю розв'язків, яка визначається як розв'язок спеціальних НЛДР 2-го порядку. Вивчено зв'язок між НЛДР 2-го порядку спеціального вигляду та ЛДР 3-го порядку. Розроблено та реалізовано у середовищі СКА "Mathematica" алгоритми для побудови розв'язків зазначених задач.

  Скачати повний текст

Проведено дослідження особливостей поводження розв'язків систем звичайних диференціальних рівнянь першого порядку, не розв'язаних щодо похідних. Для систем загального вигляду уточнено метод розв'язності або частинної розв'язності системи відносно похідних та удосконалено спосіб виділення з системи гілки, розв'язаної відносно похідних. Для задач Коші, лінеаризована частина яких містить змінний сингулярний жмуток матриць, одержано достатні умови існуваня аналітичних розв'язків в області з особливою точкою на межі та здійснено їх оцінку. Розглянуто питання про кількість таких розв'язків, зокрема, про вимір сім'ї розв'язків, що залежить від довільних аналітичних функцій з деяких класів. Розглянуто випадки існування різних співвідношень між розмірами у прямокутній матриці при похідній за її сталого рангу.

  Скачати повний текст

  Скачати повний текст

  Скачати повний текст

  Скачати повний текст

Вивчено випадок трикутних систем, що є адаптивними за останньою змінною. На підставі даних результатів щодо відображуваності розглянуто розв'язання деяких задач теорії керування для нелінійних систем.

  Скачати повний текст

Установлено нові достатні умови існування нетривіального розв'язку з наперед заданою кількістю нулів, який прямує до нуля на нескінченності, для сингулярної нелінійної задачі на власні значення, якщо відповідне диференціальне рівняння другого порядку має властивість дисипації енергії. Для узагальненого рівняння Емдена - Фаулера визначено нові достатні умови існування розв'язку крайової задачі на півосі, який має задану кількість нулів та монотонно прямує до нуля на нескінченності. У розглянутій постановці ця задача є загальною більшою мірою. З'ясовано умови, за яких роз'вязок крайової задачі на півосі для диференціального рівняння другого порядку можна неперервно продовжити за малим параметром.

  Скачати повний текст

Досліджено розв'язки крайових задач з параметрами у нелінійних рівняннях за нелінійних умов. Обгрунтовано підхід, який базується на побудові еквівалентної крайової задачі з параметрами та лінійними крайовими умовами, що розглядається разом з певною системою визначальних рівнянь. За допомогою розробленої модифікації числово-аналітичного методу послідовних наближень одержано необхідні та достатні умови існування розв'язків розглядуваних задач. Запропоновано нову схему дослідження розв'язків багатоточкових крайових задач шляхом зведення їх до двоточкових з застосуванням відповідної параметризації. Питання існування та наближеної побудови розв'язків цих задач вивчено на основі числово-аналітичного методу послідовних наближень.

  Скачати повний текст

Виявлено подібність, що об'єднує автономні нетерові крайові задачі та неавтономні періодичні крайові задачі в критичному випадку другого порядку. Для знаходження розв'язків періодичної задачі для рівняння Матьє та його власних функцій побудовано комбіновану ітераційну схему з використанням методу простих ітерацій, а також техніки найменших квадратів. На прикладі періодичних задач для рівнянь Матьє, Льєнара та Ван-дер-Поля розглянуто значне зменшення величини нев'язок побудованих розв'язків у порівнянні з традиційним методом простих ітерацій, а також технікою Бубнова - Гальоркіна.

  Скачати повний текст

Досліджено проблеми знаходження конструктивних умов існування та побудови розв'язання нелінійних нетерових крайових задач для систем диференціальних рівнянь. Вдосконалено схему дослідження задач про існування та побудову розв'язання нетерових крайових задач для нелінійних систем звичайних диференціальних рівнянь в критичних випадках. Встановлено необхідні та достатні умови існування та побудовано модифіковані ітераційні процедури для знаходження розв'язання нетерових слабконелінійних крайових задач.

  Скачати повний текст

Доведено необхідну та достатню умови розв'язаності виродженої лінійної неоднорідної нетерової крайової задачі для систем звичайних диференціальних рівнянь (СЗДР). Встановлено умови біфуркації розв'язків слабкозбуреної виродженої лінійної крайової задачі для СЗДР за припущення, що породжувальна задача не має розв'язків за довільних неоднорідностей. Одержано необхідну та достатню умови існування розв'язків слабконелінійних вироджених СЗДР з нетеровою лінійною частиною в критичному випадку та досліджено зв'язок між необхідною та достатньою умовами. Запропоновано ітераційний алгоритм побудови розв'язків слабконелінійних вироджених СЗДР.

  Скачати повний текст

Розглянуто проблему повної керованості для двох класів нелінійних керованих систем, які не можуть бути зведені дифеоморфними замінами координат і керувань до лінійних канонічних систем. Для кожного з даних класів доведено існування сім'ї неперервних керувань для розв'язання проблеми повної керованості залежно від початкового та кінцевого станів і повну керованість рівномірно обмежених збурень за умов глобальної ліпшіцевості за фазовими змінними та керуваннями правої частини незбуреної системи.

  Скачати повний текст

Вперше розроблено класифікацію систем з багатьма керуваннями та обмеженнями на керування, що належать достатньо широкому класу на основі дослідження структури правового ідеалу, що породжується нелінійною системою та обмеженнями на керування в градуйованій алгебрі нелінійних степеневих моментів. Повністю вивчено випадок скінченновимірних градуювань та правих ідеалів, що породжуються однорідними Лі-елементами. Побудовано розкладання алгебри нелінійних степеневих моментів за правим ідеалом та відповідний базис. Для широкого класу нескінченновимірних градуювнь знайдено спосіб побудови правого ідеалу, що відповідає системі та досліджено структуру таких ідеалів. Побудовано розкладання алгебри нелінійних степеневих моментів за правим ідеалом та відповідний базис. Запропоновано метод переходу до "апроксимуючого" скінченновимірного градуюванння, вигляд якого залежить від правого ідеалу, що відповідає системі. Розроблено класифікацію афінних систем в околі точки спокою з багатьма керуваннями та обмеженнями на керування, що приводять до скінченновимірних градуювань. Показано, що канонічна форма системи може бути знайдена за допомогою поліноміального перетворення ряду, наведено побудову такого перетворення. Побудовано класифікацію афінних систем в околі точки сопокою з багатьма керуваннями та обмеженнями на керування, що приводять до широкого класу нескінченновимірних градуювань. Доведено, що привести систему до канонічної форми за допомогою поліноміальних перетворень неможливо. Доведено, що канонічна форма може бути побудована за допомогою аналітичного перетворення та запропоновано спосіб його побудови.

  Скачати повний текст

Одержано повну класифікацію реалізацій дійсних розв'язних алгебр Лі розмірності не вище чотирьох у просторі довільної скінченної кількості змінних. Побудовано повний перелік нееквівалентних комплексних реалізацій алгебри AO(3) та реалізацій алгебри AE(3) у просторі трьох незалежних та n залежних комплексних змінних. Здійснено повну класифікацію комплексних реалізацій алгебри Лі груп Лоренца O(1, 3), використаних для опису одного важливого класу реалізацій алгебри Пуанкаре AP(1,3) у просторі чотирьох дійсних незалежних та n залежних комплексних змінних. Одержано повний список диференціальних інваріантів першого порядку для реалізацій дійсних розв'язків алгебр Лі розмірності 3 та 4 у просторах з однією незалежною змінною. Описано загальний вигляд інваріантних відносно цих алгебр систем звичайних диференціальних рівнянь. Побудовано нормальні системи, що інваріантні відносно розв'язних алгебр Лі розмірності 3 та 4. На прикладі однієї з реалізацій алгебри Евкліда AE(3) побудовано повний перелік диференціальних інваріантів першого порядку та знайдено загальний вигляд інваріантної системи диференціальних рівнянь. Одержано нові точні розв'язки рівнянь Максвелла для вектор-потенціалу. Здійснено відокремлення змінних у системі рівнянь Шреддінгера - Максвелла.

  Скачати повний текст