Індекс рубрикатора НБУВ: В152.

Шифр НБУВ: Ж26161 Пошук видання у каталогах НБУВ 

Вивчено зв'язки між властивостями групи та її нециклічної норми. Одержано опис нескінченних локально скінченних груп, нециклічна норма яких недедекіндова.

Установлены основные закономерности окисления твердых сплавов в системе карбид вольфрама - металлическая связка на основе кобальта, никеля, рения и марганца. Изучена температурная зависимость прочности при изгибе в рабочем интервале температур токарного инструмента. Режущие пластины из сплавов с модифицированной металлической связкой обладают более высокими эксплуатационными свойствами, что подтверждается результатами испытаний.

  Скачати повний текст

Проведено огляд деяких проблем класичної теорії чисел, що пов'язані з простими числами. Розглянуто питання розподілу простих чисел у натуральному ряді та пошуку аналітичного виразу, який би генерував прості числа. Розглянуто властивості чисел Ферма та Мерсенна, наведено критерій Люка - Лемера перевірки чисел Мерсенна на простоту, а також вказано на відомі на сьогоднішній день прості числа Мерсенна, а також деякі властивості досконалих натуральних чисел і наведено найвідоміші із нерозв'язаних проблем теорії чисел, що пов'язані з розглянутими класами чисел.

Розглянуто основні результати наукових досліджень доктора фізико-математичних наук, професора, завідувача кафедри математики СумДПУ імені А. С. Макаренка Лимана Ф. М.

Розглянуто взаємозв'язки між властивостями неперіодичних груп та їх норм розкладних підгруп. Зокрема, досліджено вплив обмежень, які задовольняє норма розкладних підгруп, на властивості самої групи за умови, що така норма недедекіндова. Описано будову неперіодичних локально нільпотентних груп, у яких вказана норма є недедекіндовою. Окрім того, встановлено деякі зв'язки між нормою абелевих нециклічних та нормою розкладних підгруп.

Розглянуто взаємозв'язки між нормою розкладних підгруп та нормою абелевих нециклічних підгруп у класі локально скінченних груп. Встановлено деякі властивості періодичних локально нільпотентних груп з недедекіндовою нормою розкладних підгруп.

У багатьох задачах теорії чисел, дискретної математики та теорії шифрів доводиться знаходити остачі від ділення на деяке натуральне число (модуль) і виконувати арифметичні дії над знайденими остачами. Розглядаючи сукупність остач і вводячи операції додавання, віднімання, множення та ділення на утворених множинах, приходимо до так званих модульних арифметик. Число елементів у цих арифметиках є скінченним, тому іноді їх називають скінченними арифметиками. Незважаючи на те, що арифметичні дії в модульних арифметиках вводяться аналогічно до того, як вони визначені для цілих чисел, деякі особливості виникають за множення елементів, піднесення їх до степеня та добуванні кореня, а відтак - під час розв'язування рівнянь та їх систем. В арифметиках за простим модулем результати операцій віднімання та ділення на відмінний від нуля елемент також є елементами відповідних арифметик. Тому в них можна обходитись без від'ємних і дробових виразів. Окрім того, в таких арифметиках зберігається більшість відомих алгоритмів розв'язування алгебричних рівнянь та їх систем. З іншого боку, в арифметиках за складеним модулем усталені правила можуть порушуватись, що пояснюється існуванням в них дільників нуля. Незважаючи на те, що виконання арифметичних операцій у скінченних арифметиках значною мірою спирається на теорію конгруенцій і теорію кілець, які вивчаються у курсі алгебри та теорії чисел, дослідженню модульних арифметик та особливостям виконання в них арифметичних дій присвячено лише окремі публікації. Розглянуто особливості виконання арифметичних операцій у модульних арифметиках, які конструюються на основі кілець класів лишків цілих чисел за заданим модулем. Значну увагу приділено питанням піднесення до степеня та добування кореня, наведено відповідні приклади.

У багатьох задачах теорії чисел і дискретної математики доводиться виконувати арифметичні дії над цілими числами (ЦЧ) за певним модулем. За такого підходу кожне ЦЧ можна ототожнити з остачею за цим модулем і розглядати множину лишків як нову, модульну арифметику. Зазначимо, що арифметичні операції над елементами утвореної таким способом алгебричної структури вводяться подібно до того, як вони визначені для ЦЧ, і визначаються відповідними остачами від ділення на модуль. Проте, залежно від модуля, деякі особливості можуть виникати при множенні класів лишків і похідних від нього операцій - піднесенні до степеня та добуванні кореня, а відтак - під час розв'язування рівнянь та їх систем. В арифметиках за простим модулем результати операцій віднімання та ділення на відмінний від нуля елемент також є елементами цих арифметик. Тому в них можна обійтись без від'ємних і дробових числових виразів. Окрім того, в таких арифметиках зберігається більшість відомих алгоритмів розв'язування алгебричних рівнянь та їх систем. З іншого боку, в арифметиках за складеним модулем усталені правила можуть порушуватись, що пояснюється існуванням в них дільників нуля. Незважаючи на те, що виконання арифметичних операцій у скінченних арифметиках значною мірою спирається на теорію конгруенцій і теорію кілець, які вивчаються у курсі алгебри та теорії чисел, дослідженню модульних арифметик, зокрема, особливостям виконання в них арифметичних дій, розв'язуванню рівнянь та їх систем присвячено лише окремі публікації. Розглянуто особливості розв'язування алгебричних рівнянь та їх систем у модульних арифметиках. Досліджено питання розв'язності окремих типів алгебричних рівнянь (зокрема, лінійних і квадратних) і систем лінійних рівнянь у арифметиках за простим модулем, наведено відповідні алгоритми та приклади.

Підготовка фахівців у галузі математики, комп'ютерних і технічних наук, учителів природничо-математичних спеціальностей передбачає вивчення різних розділів сучасної математики, серед яких теорія графів займає особливе місце в силу своєї затребуваності у різних галузях людської діяльності. Теорія графів позиціонується як наука про абстрактні об'єкти та зв'язки між ними, що, своєю чергою, обумовлює формалізацію умов типових задач, їх відрив від реальності, та у багатьох випадках передбачає виконання громіздких обчислень, результат яких не лише "не відчувається" студентами, але й часто відштовхує своєю формалізованістю. Це спричиняє труднощі у сприйнятті студентами навчального матеріалу з теорії графів, а тому виникає потреба у пошуку шляхів їх уникнення. Мета роботи - опис методичного підходу у навчанні майбутніх вчителів математики розв'язувати задачі теорії графів, умови яких "прив'язуються" до місцевого матеріалу та передбачають формування у майбутніх фахівців уміння застосовувати набуті знання на практиці, з використанням програми GeoGebra. Проведено аналіз та систематизацію науково-педагогічної літератури з використання спеціалізованих програмних засобів під час вивчення різних галузей вищої математики, зокрема, дискретної математики. Емпіричний аналіз комп'ютерного інструментарію програмних засобів предметного спрямування у контексті розв'язування задач теорії графів і візуалізації результатів. Аналіз комп'ютерного інструментарію окремих програм динамічної математики надав можливість виділити специфічні комп'ютерні інструменти, орієнтовані на теорію графів. Запропоновано використання GeoGebra, де розробниками закладено різноманітні інструменти для роботи з графами, які зосереджені у розділі "Дискретная математика": діаграма Вороного, триангуляція Делоне, задача комівояжера, найкоротша відстань, мінімальне кістякове дерево, опукла оболонка. Зауважимо, що використання програми GeoGebra надає можливість не тільки розв'язати типові задачі курсу, а і пов'язати кожну задачу з реальною життєвою ситуацією через використання місцевого матеріалу та його візуалізацію. Попередні результати навчання підтверджують ефективність описаного підходу та доцільність використання саме програми GeoGebra під час вивчення теорії графів.

Вивчено взаємозв'язки між властивостями неперіодичних груп та їх норм розкладних підгруп. Досліджено вплив обмежень, накладених на норму розкладних півгруп, на властивості групи за умови, що така норма недедекіндова та локально нільпотентна. Описано будову неперіодичних локально розв'язних груп, у яких норма розкладних підгруп задовольняє вказані вище умови.

Досліджено групи залежно від властивостей їх узагальнених норм. Подано інформацію про неперіодичні групи із заданими властивостями норми нескінченних циклічних підгруп, нескінченні локально скінченні групи із заданими властивостями норми нескінченних абелевих підгруп, нескінченні групи, нециклічна норма яких має скінченний індекс у групі. Увагу приділено неперіодичним групам з недедекіндовою нормою абелевих нециклічних підгруп, групам з обмеженнями на норму розкладних підгруп групи, локально нільпотентним періодичним групам з недедекіндовою нормою розкладних підгруп.

Багатьом сучасним студентам притаманна несформованість логічної грамотності, основи якої не були закладені у них ще в середній школі. Однією з можливих причин цього явища є недостатність знань вчителя математики наукових основ шкільного курсу математики. Тому проблема формування логічної грамотності майбутніх учителів математики залишається актуальною. У ході дослідження використано наступні методи: порівняння та синтез теоретичних положень, розкритих у науковій і навчальній літературі; спостереження за ходом навчального процесу; аналіз результатів навчання студентів відповідно до проблеми дослідження; узагальнення власного педагогічного досвіду та досвіду колег з інших закладів вищої освіти. Логічна грамотність майбутніх учителів математики - це володіння ними достатнім обсягом логічних знань і умінь, необхідних для подальшого вивчення математичних дисциплін та у майбутній педагогічній діяльності. Логічні знання та вміння, якими повинен володіти логічно грамотний студент, майбутній вчитель математики, можна умовно поділити на 3 групи: логічні знання та вміння щодо математичних понять, символіки та означень; логічні знання та вміння щодо математичних виразів і тверджень; логічні знання та вміння щодо математичних теорем. Логічні знання та вміння щодо математичних означень включають у себе наступні компоненти: логічно грамотне формулювання означень; виявлення та аналіз логічної структури означень; коректний запис означень за допомогою логічних символів; побудова стверджувальної форми, еквівалентної запереченню визначальної частини означення. Логічні знання та уміння щодо математичних виразів і тверджень передбачають наступні дії: розпізнавати види виразів і тверджень; правильно конструювати вирази і твердження; виявляти та аналізувати логічну структуру тверджень; коректно використовувати квантори і логічні зв'язки; коректно записувати твердження за допомогою логічних символів; перекладати символічний запис тверджень на природну мову; перетворювати заперечення даного неелементарного твердження у рівносильне йому твердження у стверджувальній формі. Логічні знання та вміння щодо математичних теорем: відновлення опущених кванторів у теоремі; перехід від безумовної форми теореми до її умовної форми і навпаки; конструювання для даного твердження оберненого, протилежного та оберненого до протилежного тверджень; виявлення та аналіз логічної структури теорем; формулювання теорем із використанням термінів "необхідно" і "достатньо". Зроблено висновки, що процес формування логічної грамотності майбутніх учителів математики повинен бути цілеспрямованим та систематичним. Логічна грамотність повинна формуватися ще на шкільному рівні і цей процес повинен продовжуватися під час вивчення фундаментальних математичних курсів і методики навчання математики, а особливо курсу математичної логіки.

Вивчено взаємозв'язки між властивостями неперіодичних груп та їх норм розкладних підгруп. Досліджено вплив обмежень, накладених на норму розкладних півгруп, на властивості групи за умови, що така норма недедекіндова та локально нільпотентна. Описано будову неперіодичних локально розв'язних груп, у яких норма розкладних підгруп задовольняє вказані вище умови.

Дисертаційна робота присвячена дослідженню взаємозв’язків між властивостями груп та їх узагальнених норм для заданих систем підгруп 2 залежно від обмежень, яким задовольняє досліджувана £-норма. Е-норма є характеристичною підгрупою групи і визначається як перетин нормалізаторів усіх підгруп деякої (як правило, непорожньої) системи підгруп 2 за умови, що 2 містить усі підгрупи групи з певною теоретико-груповою властивістю. У якості визначального обмеження в роботі обирається недедекіндовість досліджуваної 2-норми, а систему 2 складають: усі абелеві нециклічні, усі розкладні та усі циклічні підгрупи непростого порядку групи С. Відповідні 2-норми називають: нормою абелевих нециклічних, нормою розкладних та нормою циклічних підгруп непростого порядку групи С. У роботі конструктивно описані нескінченні локально скінченні групи з локально нільпотентною недедекідовою нормою абелевих нециклічних підгруп, а також скінченні 2-групи, в яких вказана норма недедекіндова. Досліджено властивості локально скінченних та неперіодичних локально розв’язних груп, які мають недедекіндову норму розкладних підгруп; одержано структурний опис таких груп за додаткової умови локальної нільпотентності вказаної норми та встановлено взаємозв’язки між нормою розкладних та нормою абелевих нециклічних підгруп. Встановлено умови, за яких норма циклічних підгруп непростих порядків неперіодичної групи є абелевою (зокрема, центральною) підгрупою, та охарактеризовано будову неперіодичних груп, в яких ця норма неабелева

Найважливішим завданням підготовки майбутніх фахівців у галузі математики є розширення та поглиблення математичних знань з метою їх комплексного застосування на практиці, в майбутній науковій і професійній діяльності. Одним зі шляхів реалізації такого завдання є використання міждисциплінарних зв'язків, які передбачають перенесення методів дослідження та моделей з однієї наукової дисципліни в іншу. Розглянуто можливість реалізації міждисциплінарних зв'язків дискретної математики та диференціальних рівнянь на прикладі вивчення тем "Лінійні рекурентні співвідношення зі сталими коефіцієнтами" та "Лінійні диференціальні рівняння зі сталими коефіцієнтами". Використано наступні методи досліджень: системний аналіз наукової, навчальної та методичної літератури; порівняння та синтез теоретичних положень, розкритих у науковій і навчальній літературі; узагальнення власного педагогічного досвіду та досвіду колег з інших закладів вищої освіти. Окрім того, використано деякі загально математичні та спеціальні методи теорії диференціальних рівнянь, дискретної математики та різницевого числення. Одним із способів розв'язування лінійних однорідних рекурентних співвідношень зі сталими коефіцієнтами є складання характеристичного рівняння та запис загального розв'язку вихідного співвідношення залежно від значень знайдених характеристичних коренів. Аналогічний алгоритм використовується й для знаходження загального розв'язку лінійних однорідних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами. Встановлено зв'язок між розв'язками рекурентних співвідношень та диференціальних рівнянь, які відповідають одному різницевому рівнянню. Зроблено висновки, що встановлення зв'язків між моделями та методами дослідження, які використовуються при вивченні різних математичних дисциплін, що входять у програму підготовки майбутніх фахівців-математиків, надає можливість сформувати у студентів цілісне уявлення про математичні об'єкти, алгоритми та теорії, і як наслідок, робить їх знання системними та практично більш значущими. Це сприяє інтелектуальному розвитку студентів, формуванню в них системних математичних знань, підвищенню рівня математичної грамотності та інтересу до предмету.

Важливим елементом у підготовці майбутнього фахівця у галузі математики є набуття ним комплексних знань шляхом вивчення узагальнювальних теорій і методів, за допомогою яких визначаються основні фундаментальні поняття. На сьогодні існує цілий ряд таких теорій та їх використання виокремлюється навіть у самостійні наукові напрями. Застосування елементів узагальнення та порівняння об'єктів вивчення різних математичних дисциплін у навчальному процесі також відіграє важливу роль в побудові міждисциплінарних зв'язків, які своєю чергою сприяють всебічному розвитку майбутнього спеціаліста, реалізації його потенціалу у науковій і професійній діяльності. У ходіАналізу основних положень диференціального та різницевого числень, неважко помітити значну схожість між властивостями похідної та різницевого оператора, що є ключовими характеристиками функцій, які визначені на неперервних і дискретних множинах відповідно. Виявлено, що ця схожість не випадкова, і вказані поняття є частинними випадками поняття дельта-похідної функції. Використано наступні методи: системний аналіз наукової, навчальної та методичної літератури; порівняння та синтез теоретичних положень; спостереження за ходом педагогічного процесу; узагальнення власного педагогічного досвіду та досвіду колег з інших закладів вищої освіти. Окрім того, використано деякі загально математичні та спеціальні методи диференціального та різницевого числень і теорії часових шкал. Розглянуто загальний підхід до вивчення двох фундаментальних математичних понять - поняття похідної та різницевого оператора з точки зору спеціальної теорії часових шкал, а також шляхи використання такого підходу щодо встановлення зв'язків між різними математичними теоріями з метою формування у студентів цілісного уявлення про математичні об'єкти, їх властивості та застосування. Встановлення зв'язків між моделями та методами дослідження, які використовуються при вивченні різних математичних дисциплін, що входять у програму підготовки майбутніх фахівців-математиків, надає можливість сформувати у студентів цілісне уявлення про математичні об'єкти, алгоритми та теорії, і як наслідок, робить їх знання системними та практично більш значущими. Це сприяє інтелектуальному розвитку студентів, формуванню в них системних математичних знань, підвищенню рівня математичної грамотності та інтересу до предмету.

На користь імплементації курсу "Алгебра і теорія чисел" в систему професійної підготовки майбутніх учителів математики свідчать наступні аргументи: даний курс забезпечує необхідну теоретичну та практичну підготовку вчителя математики та сприяє розумінню наукових основ шкільного курсу математики; окремі поняття та теми курсу алгебри представлені у програмі з математики закладів загальної середньої освіти (прості та складені числа, ділення з остачею, найбільший спільний дільник і найменше спільне кратне, ознаки подільності, основна теорема арифметики, багаточлени та дії над ними), а також у програмі для класів із поглибленим вивченням математики (подільність цілих чисел, конгруенції за модулем, ділення багаточленів з остачею, корені багаточленів і теорема Безу, раціональні корені багаточленів від однієї змінної тощо). Більшість із тем даного курсу є основою програм факультативів і математичних гуртків; а задачі алгебри та теорії чисел широко використовуються на олімпіадах і турнірах різних рівнів. Окрім того, знання та уміння, які набувають студенти при вивченні даного курсу, формують необхідну базу для вивчення інших фундаментальних і прикладних математичних дисциплін (математичного аналізу, дискретної математики, комплексного аналізу, методів обчислень, числових систем), а також курсу елементарної математики та методики навчання математики. Основою дослідження стали наукові здобутки вітчизняних і закордонних учених, які займаються вивченням питань підготовки майбутніх вчителів математики та інформатики. Для досягнення мети використано методи теоретичного рівня наукового пізнання: аналіз наукової літератури, синтез, формалізація наукових джерел, опис, зіставлення, узагальнення власного досвіду. Описано досвід викладання курсу "Алгебра і теорія чисел" на кафедрі математики Сумського державного педагогічного університету імені А. С. Макаренка, починаючи з 90-х років минулого століття та по теперішній час, виходячи з модифікацій у змістовому наповненні курсу, змін у кількості годин, відведених на опанування курсу, на перенесенні окремих тем до змісту інших фундаментальних дисциплін. Базуючись на власному досвіді, вважаємо, що в умовах подальшого зменшення кількості аудиторних годин і відсутності Державного стандарту освіти, проблеми, які виникають у зв'язку з необхідністю якісної професійної підготовки майбутніх учителів математики, можуть і повинні бути розв'язані шляхом впровадження в навчальний процес вибіркових курсів, які розширюють і поглиблюють зміст основного курсу "Алгебри і теорії чисел" (зокрема, з теорії чисел або елементів сучасної алгебри).

Серед шляхів здійснення інтеграції змісту фахових математичних дисциплін у процесі професійної підготовки майбутніх учителів математики слід окремо виділити фундаменталізацію навчальних курсів лінійна алгебра та аналітична геометрія, математичний аналіз та аналітична геометрія, диференціальна геометрія через розробку відповідних інтегрованих спецкурсів для майбутніх учителів математики. Проведено системний аналіз наукової, навчальної та методичної літератури; порівняння та синтез теоретичних положень; узагальнення власного педагогічного досвіду та досвіду колег з інших закладів вищої освіти; використано деякі загально математичні та спеціальні методи різницевого числення. Розглянуто можливості вивчення фахових математичних дисциплін в умовах інтеграції їх змісту у закладі вищої педагогічної освіти математичного профілю. Подання навчального матеріалу в різних навчальних курсах здебільшого не синхронізовано, оскільки їх викладають різні викладачі. Натомість майбутньому вчителю математики необхідно допомогти сформувати у власній свідомості певну систему зі змісту фахових дисциплін. Відповідно розроблено спецсемінари для студентів фізико-математичного факультету ЗВО, в межах яких кожен викладач намагається забезпечити міжпредметні зв'язки свого курсу з іншими. Узгодження змісту здійснено шляхом визначення споріднених і тотожних понять та їхніх дефініцій, послідовності введення первинних і залежних термінів, взаємних посилань у фахових математичних на зв'язки у навчальному матеріалі тощо. Зроблено висновки, що формування знаннєвої бази навчання та інших складників системи навчання з урахуванням міждисциплінарних зв'язків, гармонізації змісту навчання та синхронізації процесу навчання в часі можливо реалізувати різними шляхами, зокрема через упровадження системи спецсемінарів для студентів фізико-математичних факультетів ЗВО. Інтеграція змісту навчання на практичному рівні надає студентам найважливішу з педагогічної точки зору можливість: самостійно формувати особистісну систему знань, додавати нові відомості та формувати нові зв'язки в системі професійних компетентностей.