Наведено необхідні та достатні умови існування та спосіб знаходження спільних унітальних дільників із заданою канонічною діагональною формою багаточленних матриць над полем за умови, що відповідні факторизації матриць є паралельними до факторизацій їх канонічних діагональних форм.

Описано розв'язки трикутного вигляду матричних багаточленних рівнянь (МБР). Зокрема, встановлено умови, за яких розв'язки МБР з матрицями-коефіцієнтами трикутного вигляду є такого ж трикутного вигляду (ТВ), і запропоновано спосіб їх знаходження. Вказано вигляд усіх розв'язків ТВ з одним елементарним дільником і простої структури МБР.

Описано факторизації матриць над поліноміальними кільцями, кільцями головних ідеалів і деякими кільцями скінченнопороджених головних ідеалів. Наведено для поліноміальних матриць над довільним полем вирази, за якими знаходяться всі їх унітальні дільники та спільні дільники з заданими канонічними діагональними формами за умов паралельності відповідних факторизацій матриць до факторизацій їх канонічних діагональних форм. Описано усі розв'язки трикутного вигляду з одним елементарним дільником та усі розв'язки трикутного вигляду простої структури матричного поліноміального рівняння над алгебрично замкненим полем. Встановлено умови, за яких факторизації клітково-трикутних і клітково-діагональних матриць над областю головних ідеалів асоційовані до відповідних кліткових факторизацій. Запропоновано спосіб побудови таких факторизацій матриць за факторизаціями їх діагональних кліток і розв'язками матричних лінійних рівнянь типу Сильвестра.

Встановлено необхідні та достатні умови, за яких із асоційовності факторизацій діагональних кліток неособливих клітково-трикутних матриць над комутативними областями головних ідеалів випливає асоційовність відповідних клітково-трикутних факторизацій цих матриць.

Індекс рубрикатора НБУВ: В152.232 + В152.50

Рубрики:

Спеціальні класи матриць. Нескінченні матриці

Кільця

Шифр НБУВ: Ж72614 Пошук видання у каталогах НБУВ 

Встановлено умови існування спільних клітково-трикутних дільників клітково-трикутних матриць над кільцями головних ідеалів. Запропоновано спосіб їх побудови за спільними дільниками їхніх діагональних кліток.

Встановлено вигляд усіх з точністю до асоційовності клітково-діагонально паралельних факторизацій неособливих клітково-діагональних матриць над комутативними областями головних ідеалів. Вказано на достатні умови, за яких кожна клітково-діагональна факторизація матриці є клітково-діагонально паралельною. Встановлено критерій однозначності з точністю до асоційовності таких факторизацій матриць.

Запропоновано метод побудови розв'язків матричних однобічних діофантових поліноміальних рівнянь, який базується на трикутних формах з інваріантними множниками на головних діагоналях набору поліноміальних матриць щодо напівскалярної еквівалентності. Надано розв'язки мінімальних степенів цих рівнянь і встановлено критерій однозначності таких розв'язків.

Введено поняття абсолютної розкладності матриць на множники у кільцях клітково-трикутних матриць над комутативними областями головних ідеалів. Вказано умови абсолютної розкладності клітково-трикутних матриць і виділено класи матриць з такою властивістю. Наведено формулу для обчислення максимальної кількості класів неасоційованих розкладів на множники у таких кільцях матриць та кількості неасоційованих розкладів для певних клітково-трикутних матриць.

Установлено необхідні та достатні умови однозначності з точністю до асоційовності клітково-трикутних факторизацій клітково-трикутних матриць над областями головних ідеалів, що відповідають факторизаціям їх діагональних кліток.

Встановлено умови існування розв'язку матричного рівняння AX - YB = C із блочно-трикутними коефіцієнтами A, B і C у кільці блочно-трикутних матриць над комутативною областю головних ідеалів.

Встановлено необхідні і достатні умови існування трикутних розв'язків лінійного матричного рівняння AX + YB = C над комутативним кільцем головних ідеалів із трикутними коефіцієнтами A, B і C. Доведено також, що не існує матричного рівняння такого вигляду із трикутними коефіцієнтами A, B і C, яке має лише трикутні розв'язки.

Наведено огляд методів розв'язування матричних лінійних різносторонніх рівнянь, зокрема рівнянь типу Сильвестра над різними областями та опису структури їхніх розв'язків. Увагу зосереджено на розширенні і узагальненні результатів, одержаних авторами раніше. На основі стандартної форми поліноміальних матриць відносно напівскалярної еквівалентності розроблено метод розв'язування матричних поліноміальних рівнянь типу Сильвестра. Досліджено структуру їхніх розв'язків. Виділено розв'язки обмежених степенів і наведено умови єдиності цих розв'язків. Запропоновано метод побудови розв'язків матричних рівнянь Сильвестра над адекватними кільцями, а також встановлено критерії єдиності розв'язків певного вигляду. Встановлено умови існування розв'язку матричного рівняння Сильвестра у кільцях трикутних та блочно-трикутних матриць над комутативною областю головних ідеалів.

Для неособливих матриць третього порядку, за деяких обмежень на інваріантні множники, вказано явний вигляд форм Сміта їх найбільшого спільного лівого дільника та найменшого спільного правого кратного над комутативними областями Безу стабільного рангу 1.5.