Изучение асимптотического поведения решений квазилинейных параболических уравнений в окрестности времени сингулярного обострения граничного режима основано на введении бесконечного семейства энергетических функций, связанных с последовательностью областей пространственно-временных слоев со стремящимися к 0 высотами. Эти энергетические функции удовлетворяют некоторой специальной бесконечной системе дифференциальных неравенств. Анализ свойств этой системы в зависимости от начальных данных, определяемых исходным сингулярным граничным режимом, является одним из ключевых моментов при изучении поведения решений описанной задачи. Получена равномерная оценка для решений этих систем при различных граничных режимах, приведено несколько примеров, иллюстрирующих результат.

Исследованы энергетические (слабые) решения u(t, x) класса уравнений с модельным представителем [формула] с условием обострения энергии: [формула], где OMEGA - ограниченная гладкая область. В случае пологого обострения, а именно при условии [формула], получена точная оценка профиля решения u(t, х) в окрестности времени обострения t = T.