Получены значения параметров нормального распределения, аппроксимирующего распределение чисел в n-ой строке треугольника Паскаля (ТП). Вычислены значения нормированных моментов четных порядков и показано их асимптотическое приближение к значениям, соответствующим нормальному распределению. Получены высокоточные приближения для центральных элементов четных строк ТП, что дает возможность вычислять биномиальные, а также триномиальные (и, в общем случае, мультиномиальные) коэффициенты. Выдвинута гипотеза, согласно которой, возможно, в некоторых физических или физико-химических процессах работает именно распределение Паскаля, но в связи с незначительным отклонением данного распределения от нормального, его очень непросто заметить. Возможно также, что при усовершенствовании техники и методического обеспечения эксперимента, это различие окажется заметным там, где традиционно считается, что имеет место нормальное распределение.

Описано знаковий інформаційний простір, для якого виконуються аксіоми знакового комбінаторного простору та який існує у двох станах - згорнутому та розгорнутому. Згорнутий простір задають інформаційним знаком, який містить усі властивості розгорнутого простору. Впорядкований комбінаторний простір характеризується тим, що під час його розгортання утворюються комбінаторні числа (числа Фібоначчі), через які в живій природі проявляється "золоте" число. Воно властиве і впорядкованому інформаційному простору, завдяки якому проявляється гармонія мислення, а хаос зводиться до мінімуму.

Формалізовано визначення розмітки графу в термінах комбінаторних конфігурацій. Досліджено зв'язок реберних і вершинних (a, d)-дистанційних антимагічних розміток із такими відомими конфігураціями, як відокремлюванні системи та множини магічних прямокутників. Отримано розв'язок задачі побудови цих розміток для окремих типів графів і певних значень a, d.

Описано особливості проведення дослідницької роботи, присвяченої певним розділам теорії ймовірності. Розглянуто геометричні методи, які часто використовуються в різних математичних розділах алгебри та на початку аналізу. Зауважено, що в основі методу - проста ідея геометричної ілюстрації біномних коефіцієнтів. Названа ілюстрація надає можливість не лише унаочнити таку комбінаторну структуру, як комбінація, а й довести цілий ряд важливих комбінаторних тотожностей. Багато задач комбінаторики зводиться до підрахунку різних шляхів (траєкторій), що мають певні властивості. Часто згадані шляхи є моделями різноманітних практичних ситуацій. Розглянуто застосування методу траєкторій для доведення комбінаторних тотожностей. Зазначено, що для вирішення комбінаторної або ймовірнісної задачі доцільно використовувати її геометричну інтерпретацію, що зводить задачу до підрахунку числа шляхів (траєкторій), які володіють певними властивостями. У цьому полягає метод траєкторій. Описано застосування методу траєкторій для вирішення комбінаторних і ймовірнісних задач. Наведено геометричну інтерпретацію основних комбінаторних структур. Проаналізовано теорію методу траєкторій, наведено приклади розв'язування задач.

Вивчено комбінаторні властивості діаграм Хассе частково впорядкованих множин, мінімаксно еквівалентних надсуперкритичній частково впорядкованій множині (1, 2, 7).

Розглянуто комбінаторні конфігурації та їх множини. Наведено означення цих об'єктів, уводяться рекурентні комбінаторні оператори, за допомогою яких вони утворюються, та формулюються правила, за якими упорядковуються їх множини. Описано властивість періодичності, яка має місце при генеруванні комбінаторних конфігурацій. Вона випливає з рекурентного способу їх утворення та впорядкування. Фрактальна структура комбінаторних множин утворюється завдяки описаним правилам, в яких використано властивість періодичності. Аналіз цих структур показує, що вони - самоподібні, одночасно є скінченними та нескінченними, що характерно для фракталів. Введено їх фрактальну розмірність, яка випливає з правил генерування комбінаторних конфігурацій та відповідає кількості цих об'єктів у їх множині.

Рассмотрена фрактальная структура комбинаторных множеств, которая образуется в процессе упорядочения комбинаторных конфигураций. С использованием фрактальных свойств оговоренных множеств разработан подход к решению перечислительных задач в комбинаторике. При нахождении комбинаторных чисел используются арифметические последовательности.

Рассмотрена фрактальная структура комбинаторных множеств, которая образуется в процессе упорядочения комбинаторных конфигураций. С использованием фрактальных свойств оговоренных множеств разработан подход к решению перечислительных задач в комбинаторике. При нахождении комбинаторных чисел используются арифметические последовательности.

Описаны многие природные явления, связанные с комбинаторными числами (КЧ), в частности с "золотым" числом, которое передается числами Фибоначчи (ЧФ). Это говорит о том, что природе свойственны законы комбинаторики. Для объяснения таких природных явлений, как наличие КЧ в природе, образование фрактальных структур и симметрии в биологии, используются свойства знаковых комбинаторных пространств (КП). В упорядоченных по определенным правилам комбинаторных множествах числовые последовательности, которые задают в них количество комбинаторных конфигураций (КК), также содержат КЧ, в том числе и ЧФ. К тому же эти множества характеризуются симметрией. В них последняя смоделирована конечной последовательностью чисел, задающих количество КК в подмножествах. Их значения увеличиваются до наибольшего, а затем уменьшаются (или уменьшаются до наименьшего, а потом увеличиваются). Плоскость симметрии, проходящая через наибольшее (или наименьшее) число последовательности, делит ее на две части, значения которых от центра равномерно уменьшаются (или увеличиваются), но эти части необязательно зеркально симметричные. Они характеризуются как приближенной, так и точной симметрией. Знаковые КП, точкой которых являются КК разных типов, существуют в двух состояниях: покое (свернутом) и динамике (развернутом). Для них введены аксиомы. Как и в комбинаторных множествах, в процессе развертывания этих пространств образуются фракталы и симметрии разных видов. Аксиомы знаковых КП справедливы и для некоторых природных, в частности биологических. Поэтому, исследуя симметрию и фракталы в комбинаторике, можно объяснить, как они образуются в биологии. На вопрос, каким образом возникает симметрия в развернутых биологических пространствах, ответа еще не найдено. Зная образование симметрии в комбинаторных множествах, можно объяснить образование симметрии в биологии.

Викладанню комбінаторики та формуванню комбінаторного мислення присвячено багато досліджень. Вивчалися питання методики введення основних понять комбінаторики у шкільному курсі математики. Дослідження стосувалися формуванню комбінаторних понять у молодших школярів і підлітків. Комбінаторика є основою для вивчення теорії ймовірностей, дискретної математики та інших математичних курсів. Комбінаторне мислення необхідне інженеру, програмісту, вчителю математики і багатьом іншим спеціалістам різного спрямування. Перед закладом вищої освіти постає завдання продовжити формування комбінаторного мислення, провівши діагностику його сформованості на початку вивчення згаданого розділу. Обговорено окремі методичні прийоми, що застосовуються у ході вивчення розділу "Комбінаторика" у навчальних закладах різного спрямування. Комбінаторні розділи математики складають основу як стохастичної лінії шкільного курсу математики, так і деяких математичних курсів вишів. У ході викладання комбінаторики зручно використовувати уніфіковану схему комбінаторних структур. Обговорено питання історії виникнення та методики використання уніфікованої схеми у шкільному курсі та закладах вищої освіти. На початку вивчення корисно ознайомити студентів із згаданою схемою, і сформувати уміння використовувати її для розв'язування найпростіших задач. Доцільно також розробити набір компетентнісно орієнтованих або прикладних задач з урахуванням майбутньої спеціальності студентів. Подальше вивчення комбінаторики стосується спеціальних методів: методу твірних (продуктивних) функцій, методу рекурентних співвідношень і методу траєкторій. Названі методи вивчаються в курсі дискретної математики. Обговорено можливості геометричної ілюстрації біномних коефіцієнтів у формуванні навичок математичного моделювання.

Комбінаторна теорія ігор - це математична теорія, що вивчає ігри двох осіб, де у кожен момент часу є позиція, яку гравці почергово змінюють певним чином, щоб досягти певного виграшу. Комбінаторні ігри можуть бути інтерпретовані як ігри на графах. Розглянуто комбінаторну гру на неорієнтованому графі "Зв'язна незв'язність", яка може бути використаною під час моделювання процесів конкурентної боротьби. Для розв'язання цієї задачі розроблено власний метод фінальних графів, який полягає в аналізі ситуації, яка утворилась за крок до завершення гри. Доведено оптимальність стратегії, результатом якої є повне розв'язання задачі для довільної кількості вершин. Під час дослідження гри встановлено переможця залежно від остачі, яку надає кількість вершин за ділення на чотири. Актуальність теми визначається надзвичайно широким спектром застосування теорії графів під час моделювання різних процесів підприємницької діяльності, тощо. Комбінаторна теорія ігор на графах може бути застосована в задачах кластеризації, а також під час моделювання конфліктних ситуацій. Відмінність комбінаторних ігор від ігор, які зазвичай вивчаються в класичній ("економічній") теорії ігор полягає в тому, що в них гравці виконують ходи по черзі, а не одночасно (класичну теорію ігор висвітлено в безлічі книг, у назві яких фігурують слова "теорія ігор" або "дослідження операцій"). Міркування комбінаторної теорії ігор з повною інформацією з'явилися, ще в давні часи, наприклад в книзі Сунь Цзи "Мистецтво війни": якщо можна прорахувати, кому дістанеться перемога, а власне саму війну не затівати. Дана робота може бути корисною усім, хто цікавиться комбінаторною теорією ігор, теорією графів. Результати даного дослідження мають різне прикладне застосування. Тема є перспективною для подальшого продовження роботи в цьому напрямку.

Проведено вивчення комбінаторних властивостей діаграм Хассе частково впорядкованих множин, мінімаксно еквівалентних найменшій надсуперкритичній частково впорядкованій множині з тривіальною групою автоморфізмів.

Описано утворення та впорядкування комбінаторних конфігурацій, які є точками знакових комбінаторних просторів. Із утворених комбінаторних множин випливає, що ці простори існують у двох станах: згорнутому (спокої) та розгорнутому (динаміці). Вони одночасно є скінченними та нескінченними і для них властива самоподібність, що характерно фрактальним структурам.

Надано стислий огляд вітчизняних досліджень із застосувань алгебричної комбінаторики до захисту інформації. Розроблена теорія дала змогу побудувати нові нелінійні алгоритми захисту інформації, які можуть бути використані в задачах електронного бізнесу, управління та комерції. Параметри одного з потокових алгоритмів представлено у таблицях. Описано його специфічні властивості. Оглянуто застосуваня з прикладної алгебричної комбінаторики до постквантової криптографії - напрямку, який виник у зв'язку з надіями на появу квантового комп'ютера.

Зображено многочленів розбиттів парафункціями трикутних матриць та досліджено їх властивості. В ній, за допомоги апарату числення трикутних матриць, уніфіковано та систематизовано інформацію щодо многочленів розбиттів. Такий підхід дозволяє будувати пари взаємно обернених многочленів розбиттів. Зокрема, в ній, при допомозі зображень многочленів розбиттів парафункціями трикутних матриць похилої структури, побудовано нові класи многочленів розбиттів до яких входять відомі та невідомі многочлени розбиттів. Доведено загальну теорему щодо зображення многочленів розбиттів. Встановлено бієктивні зв'язки многочленів розбиттів з лінійними рекурентними співвідношеннями. Досліджено властивості арифметичних функцій, які узагальнюють класичні арифметичні функції невпорядкованих розбиттів і суми дільників натурального числа. Запропоновано деяку модифікацію класичної теореми обернення арифметичних функцій.

Досліджено антимагічний тип вершинної розмітки графа. Для циркулянтних графів знайдена необхідна умова, а для голландського вітряка - необхідна і достатня умови існування (a, d)-дистанційної антимагічної розмітки.

Рассмотрены натуральные арифметические и натуральные модульные графы. Доказаны свойства графов, содержащих паросочетания всех вершин. Предложены методы, позволяющие для произвольного натурального арифметического и натурального модульного графа определить наличие совершенного паросочетания.

Рассмотрено расширение задачи реконструкции слов по заданному мультимножеству подслов, предположительно порожденных смещением окна фиксированной длины со сдвигом 1. Это связано с наличием дополнительных ограничений на допустимые решения. Изучен случай, когда эти ограничения определяются запрещенными словами. Получено решение задачи, основанное на поиске эйлеровых путей в мультиорграфе де Брейна с дополнительной операцией редукции ребер и применением специальных алгебраических операций умножения матриц смежности, определенных в первой части статьи.

Рассмотрены комбинаторный метод построения базиса множества решений систем линейных ограничений в области действительных чисел и улучшенный метод построения минимального порождающего множества решений в области натуральных чисел. Дан краткий обзор этих методов в других дискретных областях.

Акцентовано увагу на одному зі складних і цікавих розділів математики – комбінаториці. Окреслено значення цього розділу, який забезпечує розвиток логічного мислення, уяви та кмітливості, формування вміння моделювати різноманітні варіанти розв’язування задач, підвищує інтерес до математики. Виокремлено основні етапи, яких потрібно дотримуватись під час навчання школярів розв’язування комбінаторних задач. Зазначено, що специфіка комбінаторних задач і методів їхнього розв’язання вимагає від учителя певного рівня математичної підготовки, зокрема вчитель повинен розв’язувати нескладні комбінаторні задачі, вміти правильно здійснювати аналіз можливих варіантів і при цьому бути впевненим у тому, що цей аналіз здійснений правильно.

Акцентировано внимание на одном из сложных и интересных разделов математики – комбинаторике. Определены значения этого раздела, обеспечивающего развитие логического мышления, воображения и сообразительности, формирующего умения моделировать различные варианты решения задач, повышающего интерес к математике. Выделены основные этапы, которые нужно соблюдать при обучении школьников решению комбинаторных задач. Отмечено, что специфика комбинаторных задач и методов их решения требует от учителя определенного уровня математической подготовки, в частности учитель должен решать несложные комбинаторные задачи, уметь правильно осуществлять анализ возможных вариантов и при этом быть уверенным в том, что этот анализ осуществлен правильно.

The attention is focused on one of the interesting and challenging areas of mathematics - combinatorics. The values ​​of this section , ensuring the development of logical thinking , imagination and ingenuity forming ability to simulate various solutions to problems , boost interest in mathematics . The basic steps you need to follow when teaching students solving combinatorial problems . Noted that the specificity of combinatorial problems and methods for solving them requires a certain level of mathematical teacher training, in particular teacher must solve simple combinatorial problems and know how to implement sorting options and still be sure that this bust was done correctly.