Збірник виданий з метою допомогти в оволодінні алгоритмами розв'язання задач з диференціальних рівнянь і теорії функції і комплексної змінної. Кожен розділ розпочинається вступом, у якому викладено основні математичні поняття. Охоплено такі розділи: інтегровані типи рівнянь першого і вищих порядків, систем зі сталими коефіцієнтами та елементи теорії стійкості, рівняння з частинними похідними 1-го порядку, комплексні числа, функції комплексної змінної, інтегральна формула Коші та її наслідки, ряди Лорана, лишки і їх застосування. Наведені задачі з різних розділів фізики, які приводять до складання диференціальних рівнянь.

Досліджено геометричну інтерпретацію комплексного числа, дії над числами, які задано у тригонометричній та показниковій формах. Висвітлено функцію комплексної змінної. Детально проаналізовано зв'язок аналітичних функцій із гармонічними, геометричний зміст модуля та аргумент похідної, конформне відображення тощо. Значну увагу приділено теоремам Коші стосовно однозв'язної та багатозв'язної області.

Викладено матеріал з теорії функцій комплексної змінної, який відповідає університетській програмі курсу "Комплексний аналіз". Розглядаються послідовності комплексних чисел і числові ряди, елементарні функції комплексної змінної, функціональні ряди. Наведено загальні принципи теорії конформних відображень, аналітичні продовження, а також показано інтегрування функцій комплексної змінної, лишки та їх застосування, елементи операційного числення. Запропоновано розв'язування типових задач різного ступеня складності.

Викладено теорію функцій комплексної змінної, зокрема, дії над комплексними числами, інтерпретацію комплексної площини в евклідовому просторі, елементарні аналітичні функції та їх конформне відображення, елементарні перетворення дробово-лінійної функції. Розкрито основні відомості про інтеграл, ряди, інтегральні лишки аналітичних функцій та їх застосування, перетворення Лапласа.

Розглядаються поняття функції комплексної змінної, неперервність її функцій, диференціювання та аналітичність, інтегрування функцій комплексної змінної безпосередньо та за допомогою формул Коші. Аналізуються ряди з комплексними членами, включаючи ряди Тейлора та Лорана, характеризуються поняття лишку та логарифмічного лишку, наводиться обчислення інтегралів за допомогою лишків. Подано дидактичний матеріал для проведення самостійних робіт.

Викладено основні відомості з теорії функцій комплексної змінної, перетворень Фур'є, Лапласа та їх дискретних аналогів. Досліджено можливості перетворень при аналізі математичних моделей реальних явищ та процесів. Описано особливості операційного числення, застосування операційного числення для розв'язування та аналізу диференціальних та інтегро-диференціальних рівнянь, стійкість розв'язків звичайних диференціальних рівнянь тощо.

Рассмотрены последовательности комплексных чисел, дифференцированные и интегрированные функции комплексного переменного. Значительное внимание уделено разложению функций в ряд Лорана, классификации особых точек, а также применению теории вычетов для вычисления несобственных интегралов, часто встречающихся при решении задач прикладного характера.

Рассмотрены вопросы применимости теории функций комплексного переменного к решению прикладных задач математики, в частности, вычислению интегралов, решению дифференциальных уравнений. Раскрыта сущность понятий комплексного, действительного и мнимого чисел, описан метод комплексных амплитуд. Определены многозначные функции комплексного переменного. Изложены основы теории вычетов, рассмотрены особенности вычисления интегралов с помощью данной теории. Рассмотрены вопросы операционного исчисления и преобразования Лапласа.

Індекс рубрикатора НБУВ: В161.5 я73-2 + В161.913 я73-2

Рубрики:

Теорія функцій комплексної змінної

Операційне числення

Шифр НБУВ: ВА667604 Пошук видання у каталогах НБУВ 

Розглянуто елементи теорії функції комплексної змінної та операційного числення. Розкрито суть понять комплексного числа та їх послідовності, функції комплексної змінної, похідної, конформного відображення, особливих точок. Наведено інтегральні теорему та формулу Коші, теореми про диференціювання зображення та зображення похідної. Висвітлено особливості застосування теорії лишків.

Рассмотрены элементы теории функции комплексной переменной и операционного исчисления. Раскрыто содержание понятий комплексного числа и его последовательности, функции комплексной переменной, производной, конформного изображения, особых точек. Приведены интегральные теорема и формула Коши, теоремы о дифференцировании изображения и изображении производной. Освещены особенности применения теории остатков.

У контексті сучасних математичних ідей розглянуто один з найактуальніших напрямків розвитку математичної науки - теорії топологічних просторів (ТП) і їх багатозначних відображень. Розкрито суть понять бази топології, компактих просторів, хаусдорфової різниці компактів, диференційованості багатозначних функцій, аксіоми відокремленості. Висвітлено особливості багатозначних відображень ТП.

В контексте современных математических идей рассмотрено одно из наиболее актуальных направлений развития математической науки - теории топологических пространств (ТП) и их многозначных отображений. Раскрыта сущность понятий базы топологии, компактных пространств, хаусдорфовой разницы компактов, дифференцированности многозначных функций, аксиомы обособления. Освещены особенности многозначных отображений ТП.

Висвітлено теорії функцій комплексної змінної й інтегральні перетворення Фур'є та Лапласа. Розкрито сутність понять комплексного числа, абсолютно збіжного ряду, функції комплексної змінної, конформного відображення, степеневої функції комплексної змінної, рядів аналітичних функцій, ізольованої особливої точки аналітичної функції, операційного числення. Викладено питання перетворення Фур'є, застосування формули Дюамеля до розв'язання лінійних диференціальних рівнянь, розкладу аналітичної функції в ряд Лорана в околі нескінченно віддаленої точки. Наведено формули Муавра й Ейлера, інтегральну теорему Коші, теорему Ліувілля, основну теорему теорії лишків.

Освещены теории функций комплексной переменной и интегральные преобразования Фурье и Лапласа. Раскрыта сущность понятий комплексного числа, абсолютно сходящегося ряда, функции комплексной переменной, конформного отражения, степенной функции комплексной переменной, рядов аналитических функций, изолированной особой точки аналитической функции, операционного исчисления. Изложены вопросы преобразования Фурье, использования формулы Дюамеля для решения линейных дифференциальных уравнений, разложения аналитической функции в ряд Лорана в окрестности бесконечно отдаленной точки. Приведены формулы Муавра и Эйлера, интегральная теорема Коши, теорема Лиувилля, основная теорема теории остатков.

Індекс рубрикатора НБУВ: В161.5 я73 + В161.913 я73

Рубрики:

Теорія функцій комплексної змінної

Операційне числення

Шифр НБУВ: ВА695242 Пошук видання у каталогах НБУВ 

Розглянуто суть понять функцій комплексної змінної (ФКЗ), межі та неперервності ФКЗ. Описано види аналітичних функцій, а також степеневі ряди з комплексними членами, ряди Тейлора та Лорана. Висвітлено особливості інтегрування ФКЗ. Запропоновано класифікацію особливих точок. Наведено основні визначення, теореми та інші відомості з теорії ФКЗ. Визначено зв'язок гармонічних функцій з аналітичними.

Рассмотрены сущность понятий функций комплексной переменной (ФКП), границы и непрерывности ФКП. Описаны виды аналитических функций, а также степенные ряды с комплексными числами, ряды Тейлора и Лорана. Освещены особенности интегрирования ФКП. Предложена классификация особых точек. Приведены основные определения, теоремы и другие сведения по теории ФКП. Определена связь гармонических функций с аналитическими.

Розкрито зміст основних понять і законів теорії функції комплексної змінної й операційного числення. Наведено відомості про комплексні числа й операції над ними, визначено функції комплексної зміннної, розкрито геометричний зміст аргументу та модуля похідної. Запропоновано методи обчислення інтеграла й інтегрування аналітичних функцій, описано ряди й особливі точки, проаналізовано поведінку функції на нескінченності. Розглянуто поняття лишку та способи його обчислення, викладено матеріали про елементи операційного числення, наведено приклади застосування перетворення Лапласа.

Раскрыто содержание основных понятий и законов теории функции комплексной переменной и операционного исчисления. Даны сведения о комплексных числах и операциях над ними, определены функции комплексной переменной, раскрыто геометрическое содержание аргумента и модуля производной. Приведены методы исчисления интеграла и интегрирования аналитических функций, описаны ряды и особые точки, проанализировано поведение функции на бесконечности. Рассмотрено понятие излишка и способы его исчисления, приведены примеры применения преобразования Лапласа.

Изложены основные вопросы теории функций комплексного переменного и операционного исчисления. Рассмотрены методы дифференцирования и интегрирования функций комплексного переменного, их разложения в ряды Лорана. Уделено внимание проблемам нахождения вычетов функции в особых точках и их применения к вычислению интегралов. Приведены приложения преобразований Лапласа к решению дифференциальных и интегральных уравнений и систем.

Наведено основні теоретичні факти та формули комплексного аналізу й операційного числення. Увагу приділено комплексним числам, функціям комплексної змінної, геометричному змісту модуля й аргументу похідної, інтегралам типу Коші, інтегруванню систем диференціальних рівнянь, зображенню періодичних функцій, розв'язанню задачі Коші для звичайних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами.

Приведены основные теоретические факты и формулы комплексного анализа и операционного исчисления. Уделено внимание комплексным числам, функциям комплексной переменной, геометрическому содержанию модуля и аргумента производной, интегралам типа Коши, интегрированию систем дифференциальных уравнений, изображению периодических функций, решению задачи Коши для обычных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Розглянуто комплексні числа та дії над ними. Увагу приділено теорії функції комплексної змінної та можливостям її застосування до розв'язування інженерних задач. Наведено інформацію про стереографічну проекцію, умови Коші - Рімана, зв'язок аналітичних функцій з гармонійними, особливості геометричного тлумачення аргументу та модуля похідної, ряди Тейлора та Лорана, класифікацію ізольованих особливих точок аналітичної функції.

Викладено основні математичні поняття, розкрито найбільш важливі поняття теорії, зокрема, комплексні числа (КЧ) та їх геометричну інтерпретацію, збіжність послідовностей і рядів КЧ, функції комплексної змінної (КЗ) та їх диференційованість, інтегрування функції КЗ, степеневі ряди та ряди Лорана, особливі точки аналітичних функцій, обчислення залишків та їх застосування до обчислення інтегралів, перетворення Лапласа та його застосування для розв'язання диференціальних систем і рівнянь, принцип аргументу та теорему Руше.

Розглянуто теоретичні засади комплексного аналізу. Подано інформацію про комплексні числа, голоморфні, лінійні й аналітичні функції, ріманову поверхню, екстремальні задачі на класах областей, які попарно не перетинаються. Увагу приділено топології в комплексній площині, степеневим рядам, властивостям гіперболічних функцій, рядам Лорана, задачам Лаврентьєва та Голузіна.