Дисертаційна робота присвячена деяким питанням спектральної теорії грани¬чних задач для загальних систем звичайних диференціальних рівнянь (ЗДР) пер¬шого порядку на скінченному інтервалі. Також досліджуються деякі спектральні властивості ЗДР високого порядку на піввісі. Отримано нові достатні умови повноти і блочної базисності систем власних і приєднаних функцій граничних задач для загальних систем ЗДР першого по¬рядку. Отримані результати застосовуються для отримання нових достатніх умов повноти і блочної базисності Pica для динамічного генератора загальної моделі балки Тимошенка при послаблених умовах гладкості на параметри моделі, які не покривались попередніми результатами. Також отримано нові умови на комплекснозначний потенціал ЗДР другого по¬рядку, які забезпечують прямування усіх розв’язків до нуля на нескінченності. За допомогою теорії граничних трійок отримано явну формулу спектральних фун¬кцій розширень мінімального диференціального оператора парного порядку з ну¬льовими коефіцієнтами на піввісі.

Досліджено проблему знаходження конструктивних умов існування та побудовано розв'язки диференціально-алгебраїчних крайових задач у припущенні, що невідома являє собою матричну функцію. Для матричних рівнянь Ляпунова та Сильвестра побудовано схему регуляризації, яка суттєво відрізняється від класичного методу регуляризації Тихонова. Для наближеного розв'язання матричного рівняння Ріккаті побудовано ітераційну схему за класичною схемою методу найменших квадратів, знайдено умови її збіжності до шуканого розв'язку. Знайдено умови розв'язності, а також конструкція узагальненого оператора Гріна матричної диференціально-алгебраїчної крайової задачі з імпульсним впливом, які узагальнюють традиційні результати для матричних диференціальних і диференціально-алгебраїчних рівнянь. Для лінійних нетерових крайових задач одержано достатні умови регуляризації за рахунок як виродженого, так і невиродженого імпульсного збурення, а також за допомогою імпульсного впливу типу "interface conditions". У випадку нерозв'язності матричної диференціально-алгебраїчної крайової задачі знайдено умови існування, а також конструкція найкращого (у сенсі найменших квадратів) псевдорозв'язку матричної диференціально-алгебраїчної крайової задачі, які узагальнюють традиційні результати для матричних диференціальних і диференціально-алгебраїчних рівнянь.

Розглянуто крайову задачу для звичайного диференціального рівняння n-го порядку. Як наближений розв'язок задачі вибирається функція, що для довільних значень параметрів, які входять в неї, точно задовольняє крайові умови, а при підстановці функції у рівняння утворюється диференціальна нев'язка. Для пошуку оптимальних значень параметрів, на яких досягається мінімум функції відхилення диференціальної нев'язки від нуля, пропонується підхід із використанням алгоритму диференціальної еволюції. Даний підхід може бути поширений також на випадок, коли для довільних значень параметрів наближений розв'язок не задовольняє точно крайові умови і, окрім диференціальної нев'язки, з'являються нев'язки крайових умов. Алгоритм диференціальної еволюції служить для розв'язання задач багатовимірної оптимізації. В ньому моделюються основні еволюційні процеси в живій природі: схрещування, мутація, селекція. Це один із кращих еволюційних алгоритмів, який стабільно знаходить глобальний мінімум (максимум) функції за мінімальний час. На відміну від стандартної схеми диференціальної еволюції в алгоритмі, запропонованому у статті, еволюція здійснюється тільки за рахунок операцій мутації та селекції, без використання схрещування. Це сприяє спрощенню алгоритму без погіршення точності результатів. Алгоритм дозволяє розв'язувати як лінійні, так і нелінійні крайові задачі без внесення змін і залучення чисельних методів, а також використовувати різні норми для функції відхилення (квадратичну, чебишовську та ін.). Запропонований алгоритм реалізовано в Matlab. Наведено результати обчислювальних експериментів із розв'язання низки тестових крайових задач для диференціальних рівнянь другого і четвертого порядків. Вони показують, що знайдені за алгоритмом диференціальної еволюції наближені розв'язки вказаних задач добре узгоджуються з їх точними розв'язками.

Досліджено найбільш загальний клас лінійних неоднорідних крайових задач для систем звичайних диференціальних рівнянь довільного порядку, розв'язки і права частина яких належать до відповідних просторів Соболєва. Для залежних від параметрів задач цього класу встановлено конструктивний критерій неперервності за параметром розв'язків у просторі Соболєва. Знайдено двосторонню оцінку швидкості збіжності цих розв'язків до розв'язку незбуреної задачі.

Досліджено спектральні властивості несамоспряженоі задачі для оператора диференціювання порядку 2n з нелокальними умовами, що є збуреннями сильно регулярних самоспряжених умов типу Штурма. Вивчено випадки задач з регулярними та нерегулярними за Біркгофом збуреннями крайових умов. Побудовано систему власних функцій багатоточковоі задачі. Встановлено достатні умови, за яких ця система є повною і у разі деяких додаткових припущень утворює базис Рісса.

Досліджено спектральні властивості несамоспряженої задачі, породженої нелокальними крайовими умовами для оператора диференціювання порядку 2n. Вивчено випадки регулярних та нерегулярних за Біркгофом двоточкових крайових умов. Побудовано систему кореневих функцій задачі та елементи біортогональної системи. Встановлено достатні умови, за яких ці системи є повними та за деяких додаткових припущень утворюють базис Рісса.

Досліджено границю за параметром у рівномірній нормі розв'язків послідовності загальних крайових задач для систем лінійних звичайних диференціальних рівнянь довільного порядку на скінченному інтервалі. Одержано суттєве узагальнення теореми І. Т. Кігурадзе (1987 р.) щодо таких задач.

За допомогою методу параметризації досліджено нелінійну двоточкову крайову задачу для звичайного диференціального рівняння. Побудовано системи нелінійних алгебричних рівнянь, що надають змогу знайти початкове наближення розв'язку розглядуваної задачі. В термінах властивостей побудованих систем знайдено необхідні та достатні умови існування ізольованого розв'язку досліджуваної крайової задачі.

Досліджено характер розв'язності найбільш загальних лінійних крайових задач у просторах Соболєва для систем звичайних диференціальних рівнянь на скінченному інтервалі. Знайдено індекси таких задач та встановлено критерій їх коректної розв'язності.

Досліджено достатні умови збіжності розв'язків загальних, зокрема багатоточкових лінійних крайових задач для систем звичайних диференціальних рівнянь довільного порядку. Встановлено нові граничні теореми для багатоточкових крайових задач та відповідних їм матриць Гріна. Доведено можливість апроксимації розв'язку та нормованої матриці Гріна загальної крайової задачі розв'язками і нормованими матрицями Гріна багатоточкових крайових задач спеціального вигляду.

Знайдено необхідні та достатні умови існування розв'язків нелінійної матричної крайової задачі для диференціально-алгебричного рівняння у випадку параметричного резонансу. Побудовано збіжні ітераційні схеми для знаходження наближень до розв'язків нелінійних матричних крайових задач для диференціально-алгебричних рівнянь у випадку параметричного резонансу. Як приклади застосування запропонованих ітераційннх схем, знайдено наближення до розв'язків крайових задач для рівнянь Хілла, Дюффінга, Матьє та Ріккаті з параметричним збудженням. Для контролю точності знайдених наближень до розв'язків крайових задач запропоновано нев'язки у вихідному рівнянні та крайовій умові.

В работе предложены оригинальные условия разрешимости, а также схема нахождения решений нелинейной нетеровой дифференциально-алгебраической краевой задачи. При этом существенно использована техника псевдообращения матриц по Муру - Пенроузу. Поставленная задача продолжает исследование условий разрешимости, а также схем нахождения решений нелинейных нетеровых краевых задач, приведенных в монографиях А. Пуанкаре, А. М. Ляпунова, И. Г. Малкина, Дж. Хейла, Ю. А. Рябова, А. М. Самойленко, Н. В. Азбелева, В. П. Максимова, Л. Ф. Рахматуллиной и A. A. Бойчука. Исследован общий случай, когда линейный ограниченный оператор, соответствующий однородной части линейной нетеровой дифференциально-алгебраической краевой задачи, не имеет обратного. Найдены достаточные условия приводимости дифференциально-алгебраического уравнения к системе, объединяющей дифференциальное и алгебраическое уравнение. Таким образом, дифференциально-алгебраическая краевая задача приводится к нелинейной нетеровой краевой задаче для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Изучен случай наличия простых корней уравнения для порождающих амплитуд. Для нахождения решений поставленной задачи в критическом случае получены конструктивные необходимые и достаточные условия существования, а также построена сходящаяся итерационная схема. Предложенные условия разрешимости, а также схема нахождения решений нелинейной нетеровой дифференциально-алгебраической краевой задачи подробно проиллюстрированы на примере нелинейной нетеровой дифференциально-алгебраической краевой задачи для уравнения типа Дюффинга. Для контроля скорости сходимости итерационной схемы к точному решению дифференциально-алгебраической краевой задачи для уравнения типа Дюффинга использованы невязки полученных приближений в уравнении типа Дюффинга в пространстве непрерывных функций.

Індекс рубрикатора НБУВ: В161.61-3

Рубрики:

Звичайні диференціальні рівняння

Шифр НБУВ: РА438545 Пошук видання у каталогах НБУВ 

Досліджено самоспряжені задачі, оператори яких розщеплюються на інваріантних підпросторах, які індуковані оператором інволюції Iy(x) = y(1 - x). Побудовано несамоспряжені збурення таких задач, які є регулярними або нерегулярними за Біркгофом. Вивчено спектральні властивості операторів, які відповідають цим збуренням, зокрема, представлення власних значень, власних функцій та досліджено повноту і базисність системи власних функцій.

Розглянуто гамільтонову систему, пов'язану з кривою Тротта в теоремі Харнака, яка стверджує, що максимальна кількість овалів кривої четвертого порядку дорівнює 4. Розглянуто гамільтонову систему, що має більшу кількість овалів, ніж стверджується в теоремі Харнака. Наведено пояснення цього факту та розглянуто граничну задачу Діріхле для відповідної системи. Одержано точні оцінки кількості розв'язків задачі Діріхле.

Розглянуто крайова задача для вироджуваного рівняння непарного порядку. Єдиність розв'язку встановлюється методом інтегралів енергії. Розв'язок будується методом відокремлення змінних, при цьому одержується задача на власні значення для вироджуваного звичайного диференціального рівняння парного порядку. Існування власного значення показується шляхом зведення до інтегрального рівняння.

Наведено результати дослідження асимптотики власних значень і власних функцій та розвинення за ними крайових задач для звичайних диференціальних і квазідиференціальних рівнянь з мірами в коефіцієнтах. Побудовано відповідні асимптотичні формули та наведено умови, за яких можна розвивати функції в ряди за власними функціями. Увагу приділено асимптотиці фундаментальної системи розв'язків квазідиференціального рівняння, побудові скалярної функції Гріна та її властивостям, оцінці квазіпохідних функції Коші, розвиненню за власними функціями крайової задачі для диференціального рівняння.

Індекс рубрикатора НБУВ: В161.61-3 + В162.13,0

Рубрики:

Звичайні диференціальні рівняння

Лінійні оператори і лінійні операторні рівняння

Шифр НБУВ: РА387345 Пошук видання у каталогах НБУВ 

Одержано достатні умови існування розв'язків для класу граничних задач для диференціальних включень з похідною дробового порядку, включаючи дробову похідну Рімана - Ліувілля. Розглянуто випадки опуклої та неопуклої правої частини. Вивчено топологічну структуру множини розв'язків.

Продемонстровано можливість розв'язку крайових задач для звичайних диференційних рівнянь за допомогою інтегрального перетворення Фур'є, яке зазвичай використовується для рівнянь, в яких незалежна змінна пробігає всю числову пряму.