Розглянуто широке коло понять і математичних методів, що застосовуються під час вивчення нелінійних явищ, тобто таких, які описують нелінійними диференціальними рівняннями. Подано інформацію про нелінійні динамічні системи, теорему Ліувілля-Остроградського, основні типи задач теорії нелінійних динамічних систем, сепаратриси, індекси Пуанкаре, топологічні характеристики фазового простору.

Для істотно нелінійних систем рівнянь збуреного руху запропоновано один підхід для оцінки функцій Ляпунова вздовж розв'язків розглянутих систем рівнянь. Як застосування розглянуто задачу про обмеженість і стійкість руху істотно нелінійної системи рівнянь другого порядку, задачі про стійкість за великих початкових збурень і про стійкість неавтономної афінної системи.

Розглянуто задачу робастної стійкості для нелінійної системи рівнянь в частинних похідних реакція-дифузія. Незбурена система вважається такою, що має глобальний атрактор. Основним завданням роботи є оцінка відхилення траєкторії збуреної системи від глобального атрактора незбуреної системи залежно від величини збурень. Таку оцінку можна одержати в межах теорії стійкості від входу до стану (ISS). У роботі не накладається жодних умов на похідну нелінійної функції взаємодії, отже, не забезпечується єдиність розв'язку початкової задачі. Запропоновано новий підхід до одержання оцінок робастної стійкості еволюційного розв'язуючого оператора. Зокрема, доведено, що багатозначний розв'язуючий оператор породжений слабкими розв'язками нелінійної системи типу реакція-дифузія має властивість асимптотичного підсилення (AG) відносно атрактора незбуреної системи.

Рассмотрены вопросы исследования устойчивости решений динамических систем с переключениями. Получены достаточные условия асимптотической устойчивости нулевого решения систем с переключениями, состоящих из линейных дифференциальных и разностных подсистем. Показано, что для асимптотической устойчивости достаточно существования общей квадратичной функции Ляпунова.

Приведен простой и быстрый метод оценки асимптотической устойчивости существенно нелинейных динамических систем, в частности систем большой размерности, для которых ряды Тейлора разложения правых частей дифференциальных уравнений сходятся медленно и сумма членов выше второго порядка малости может значительно превышать величину любого члена второго порядка. В таком случае метод функций Ляпунова не может гарантировать корректную оценку устойчивости. В основе предложенного метода - процедура максимизации скорости изменения метрики пространства возмущенного состояния, которая только в частных случаях может оказаться одновременно и функцией Ляпунова. Описанная методика не рассчитана на оценку устойчивости линейных систем.

Приведен простой и быстрый метод оценки асимптотической устойчивости существенно нелинейных динамических систем, в частности систем большой размерности, для которых ряды Тейлора разложения правых частей дифференциальных уравнений сходятся медленно и сумма членов выше второго порядка малости может значительно превышать величину любого члена второго порядка. В таком случае метод функций Ляпунова не может гарантировать корректную оценку устойчивости. В основе предложенного метода - процедура максимизации скорости изменения метрики пространства возмущенного состояния, которая только в частных случаях может оказаться одновременно и функцией Ляпунова. Описанная методика не рассчитана на оценку устойчивости линейных систем.

Описан новый подход к исследованию динамической устойчивости магнитных тел в аксиально симметричном магнитном поле. Рассмотрен гамильтониан, описывающий широкий класс моделей с симметричным волчком, взаимодействующим с внешними аксиально симметричными полями. Найдены необходимые и достаточные условия динамического равновесия для нового класса моделей с симметричным волчком. Получены уравнения движения в форме удобной для численного моделирования.

Питання стабілізації якісних параметрів динамічних процесів вважаються добре вивченими. Традиційно для цього використовується техніка введення негативних зворотних зв'язків (НЗЗ). Супутнім моментом використання техніки НЗЗ є необхідність дослідження стійкості динамічної системи в діапазоні допустимих управлінь, вибору критерію стабілізації та параметрів стабілізації. На прикладах динамічних систем з безперервною і порціонною подачею технологічних продуктів показано, що введення НЗЗ не є єдиною альтернативою, що надає можливість стабілізувати якісні параметри вихідних продуктів. Показано, що проблеми стабілізації динамічних систем пов'язані з тим, що сигнали управління передають у складі керуючих сигналів нелінійності технологічної частини системи. У зв'язку з цим виникають проблеми стійкості та якості стабілізації. Запропоновано метод стабілізації, вільний від впливу параметрів технологічної частини та системно обгрунтовану ознаку класифікації системних об'єктів. З'являється можливість класифікувати, за цією ознакою, об'єкти системи щодо їх належності до технологічної підсистеми або підсистеми управління. Також метод передбачає використання системно обгрунтованого принципу визначення оптимальних параметрів управління процесом стабілізації якісного параметру вихідного системного продукту з використанням верифікованого критерію ефективності використання ресурсів. Реалізація запропонованого методу надає можливість створювати автоматичні динамічні системи, побудовані за єдиним архітектурним принципом.

Побудовано математичну модель, яка описує процеси в системах зі зміною вимірності фазового простору, залежних від параметрів. Сформульовано та доведено теореми практичної стійкості систем диференціальних рівнянь зі зміною вимірності фазового простору, залежних від параметрів і наявності зовнішніх збурень. На основі методів практичної стійкості одержано та доведено критерії практичної стійкості для лінійних параметричних систем диференціальних рівнянь зі зміною вимірності фазового простору за фазових обмежень і наявності зовнішніх збурень. Одержано математичні моделі функцій чутливості, розроблено алгоритми їх обчислення та проаналізовано властивості функцій чутливості для систем зі зміною вимірності фазового простору, залежних від скалярного та векторного параметрів. Для числового розв'язування матричних рівнянь чутливості лінійних систем диференціальних рівнянь зі зміною вимірності фазового простору обгрунтовано застосування формули Коші. Використовуючи методи практичної стійкості, знайдено оцінки в задачах аналізу чутливості лінійних параметричних систем зі зміною вимірності фазового простору. Одержано критерії для розробки алгоритмів розрахунку допусків на параметри в лінійних системах зі зміною вимірності фазового простору. На основі обгрунтованих методів аналізу практичної стійкості та чутливості систем зі зміною вимірності фазового простору розроблено алгоритми та програми, які демонструють одержані результати.

Розроблено нові якісні методи дослідження систем диференціальних рівнянь та застосування цих методів до вивчення стійкості, обмеженості, періодичності та квазіперіодичності розв'язків. Установлено умови існування обмежених інваріантних множин і збереження їх у разі збурень. Досліджено умови гладкості інваріантних тороїдальних многовидів, а також досліджено питання існування обмежених розв'язків систем диференціальних і різницевих рівнянь у банаховому просторі. Проаналізовано системи лінійних розширень на многовидах з тотожно виродженою матрицею та наведено приклади таких систем, які є регулярними. Досліджено характер модулів неперервності вищих похідних функції Гріна-Самойленка задачі про інваріантні тори й інваріантного тора лінійних розширень динамічних систем на торі, одержано умови (оцінки) їх збіжності. Запропоновано підхід до побудови узагальнених функцій Ляпунова для регулярних лінійних розширень динамічних систем на торі. Для систем динамічних розширень на торі типу Ріккаті знайдено достатні умови існування єдиного тороїдального многовиду. Досліджено умови гладкості обмеженого інваріантного многовиду нелінійної системи типу Ріккаті. Запропоновано підхід до дослідження питання існування обмежених розв'язків систем диференціальних рівнянь в банаховому просторі. Для нелінійних різницевих рівнянь, використовуючи теорію с-неперервних операторів, одержано достатні умови існування обмежених послідовностей. Досліджено властивість регулярності певних лінійних розширень динамічних систем з параметрами. Одержані результати можуть служити джерелом нових задач в теорії інваріантних многовидів динамічних систем.

Рассмотрены задачи глобального и локального робастного позиционного синтеза ограниченного управления системой с неизвестным ограниченным возмущением. Решение основано на методе функции управляемости В. И. Коробова. Найден наибольший отрезок изменения границ возмущения и построено управление, которое переводит произвольную начальную точку в начало координат за конечное время при любом возмущении, удовлетворяющем ограничениям. Получена оценка на время движения из произвольной начальной точки в начало координат.

Індекс рубрикатора НБУВ: В161.618.1 + В192.162

Рубрики:

Якісна теорія динамічних систем

Наближене розв'язання диференціальних рівнянь

Шифр НБУВ: Ж73466 Пошук видання у каталогах НБУВ 

Исследованы системы линейных расширений динамических систем. Установлена связь между матрицами проектирования в структуре функции Грина и знакопеременными функциями Ляпунова.

Рассмотрен класс дискретных и непрерывных динамических систем (ДС) с ограниченным возмущением. С использованием техники выпуклого анализа найдены уравнения эволюции эллипсоидов, содержащих множество достижимости ДС. С помощью метода функций Ляпунова получена оценка предельного множества ДС. Для системы управления угловым движением твердого тела проведено сопоставление эллипсоидальных оценок предельного множества и асимптотики множества достижимости.

Для лінійної однорідної диференціальної системи, коефіцієнти якої зображувані у вигляді абсолютно та рівномірно збіжних рядів Фур'є з повільно змінними коефіцієнтами та частотою, одержано умови існування лінійного перетворення аналогічної структури, що зводить цю систему до системи з повільно змінними коефіцієнтами у нерезонансному випадку на асимптотично великому проміжку зміни незалежної змінної за умови наявності деяких резонансних співвідношень.

Проаналізовано питання теорії лінійних різницевих і диференціальних рівнянь із випадковими коефіцієнтами й випадковими стрибками рішень. Наведено результати дослідження стійкості розв'язків у середньому та середньому квадратичному, для чого виводяться моментні рівняння, лінійні різницеві рівняння із коефіцієнтами, що залежать від двох послідовних значень марковського ланцюга, алгебричні критерії асимптотичної стійкості лінійних різницевих рівнянь з випадковими коефіцієнтами та стохастичні функції Ляпунова для різницевих рівнянь. Подано моментні рівняння для лінійних стохастичних рівнянь із випадковими коефіцієнтами, досліджено стійкість розв'язків нестаціонарної системи лінійних диференціальних рівнянь із випадковими коефіцієнтами, а також стійкість нульових розв'язків рівнянь для моментних функцій першого та другого порядків. Знайдено оптимальні множини початкових даних в задачах стійкості в середньому для різницевих рівнянь з марковськими коефіцієнтами та множини початкових значень в інтегральній моментній стійкості для лінійних стохастичних рівнянь з неперервним часом.

Рассмотрен метод оценки устойчивости динамических систем по результатам анализа характеристического полинома ее передаточной функции. Предложен фазочастотный критерий оценки устойчивости непрерывных линейных и нелинейных систем, содержащих линейные, иррациональные, трансцендентные, неминимально-фазовые звенья и звенья запаздывания. Изложена методика анализа устойчивости систем.

Індекс рубрикатора НБУВ: В161.618.1

Рубрики:

Якісна теорія динамічних систем

Шифр НБУВ: Ж26161 Пошук видання у каталогах НБУВ 

Одержано оптимальні оцінки множини фазових обмежень в задачі практичної стійкості дискретної множинної системи. Для випадку лінійної динамічної складової обгрунтовано теореми про оптимальні оцінки за конкретних фазових обмежень.

С помощью метода Арнольда обнаружения неподвижных точек симплектических диффеоморфизмов найдены оценки снизу количества ультрасубгармоник гамильтоновой системы на двумерном симплектическом многообразии с почти автономным периодическим по времени гамильтонианом. Показано, что асимптотика этих оценок при стремлении малого параметра возмущения к нулю зависит от того, к какой из четырех зон кольцевой области, расслоенной замкнутыми линиями уровня невозмущенного гамильтониана, принадлежат порождающие невозмущенные ультрасубгармоники.