Вдосконалено існуючі та розроблено нові методи групового аналізу диференціальних рівнянь і суміжних галузей теорії алгебр Лі. Досліджено питання їх застосування у різних класифікаційних задачах. Введено нові понятття, пов'язані з класами диференціальних рівнянь, а саме: розширена (узагальнена, розширена, умовна, потенціальна) група еквівалентності, нормалізований (напівнормалізований, строго нормалізований) клас, точкове відображення між класами. Для дослідження задач групової класифікації запропоновано методи розбиття на нормалізовані підкласи, розгалуженого розщеплення, відображення між класами. Визначено межі застосовності алгебричного методу. Поставлено задачі про класифікацію допустимих перетворень, ліївських симетрій, законів збереження, потенціальних симетрій і операторів редукції відносно різних типів еквівалентностей. Такі задачі розв'язано для багатьох класів диференціальних рівнянь і сингулярні оператори редукції рівнянь з двома незалежними змінними. Запропоновано нові необхідні критерії контракцій алгебр Лі. За допомогою оригінального алгоритму пораховано інваріанти серій розв'язних алгебр.

Індекс рубрикатора НБУВ: В161.623,0

Рубрики:

Груповий аналіз диференціальних рівнянь з частинними похідними

Шифр НБУВ: ВА731776 Пошук видання у каталогах НБУВ 

Виконано груповий аналіз (1+1)-вимірних квазілінійних рівнянь реакції-дифузії зі змінними коефіцієнтами. Знайдено групу еквівалентності всього класу та ширшу групу еквівалентності, що відповідає підкласу рівнянь з експоненціальною нелінійністю. Ліївські симетрії прокласифіковано з точністю до знайдених перетворень еквівалентності. Показано, що розмірність максимальних алгебр інваріантності досліджуваних рівнянь не перевищує чотирьох.

Доведено теорему про щільність множини області визначення локального генератора напівгрупи стиску в множині області визначення цієї напівгрупи стиску.

Проведено групову класифікацію певного класу нелінійних п'ятивимірних рівнянь Д'Аламбера в просторі М(1,4) х R(u), побудовано нееквівалентні функціональні базиси диференціальних інваріантів першого порядку неспряжених підгруп групи Р(1,4). Сформульовано і доведено критерій еквівалентності функціональних базисів диференціальних інваріантів першого порядку неспряжених підгруп групи Р(1,4). Для деяких Р(1,4)-інваріантних п'ятивимірних рівнянь Д'Аламбера проведено симетрійну редукцію та побудовано деякі класи інваріантних розв’язків.

Розглянуто багатовимірні нелінійні еволюційні рівняння другого порядку, для яких знайдено максимальні алгебри інваріантності.

Виконано групову класифікацію одного класу рівнянь Колмогорова.

С помощью специально сконструированного преобразования Бэклунда получено гамильтоновое представление для иерархии потоков типа Лакса на сопряженном пространстве к алгебре Ли матричных суперинтегро-дифференциальных операторов с одной антикоммутативной переменной, дополненной соответствующими эволюциями собственных функций ассоциированных спектральных задач. Предложено также гамильтоновое описание соответствующего множества иерархий дополнительных однородных симметрий. Изучена связь этих иерархий с интегрируемыми по Лаксу (2|1 + 1)-измеримыми суперсимметричными матричными нелинейными динамическими системами и их тройной линеаризацией типа Лакса.

Проаналізовано кілька класів узагальнених рівнянь Бюргерса: зі змінним коефіцієнтом при другій похідній; лінеаризовних; у збережній формі; потенціальних; із лінійним уповільненням, де коефіцієнти залежать від часу, та підкласи цього класу. Описано групоїди еквівалентності класів шляхом доведення їх нормалізованості та знаходження відповідних груп еквівалентності. За необхідності використано техніку розбиття ненормалізованого класу на нормалізовані підкласи. Для класу узагальнених рівнянь Бюргерса зі змінним коефіцієнтом при другій похідній виконано розширений груповий аналіз. Із використанням алгебраїчного методу розв'язано задачу групової класифікації для цього класу. Вичерпно описано оператори редукції, ліївські та некласичні редукції, закони збереження, потенціальні допустимі перетворення та потенціальні симетрії рівнянь із цього класу. Запропоновано метод класифікації ліївських редукцій для рівнянь із нормалізованого класу відносно групи еквівалентності цього класу. Цей метод у поєднанні з оптимізованим вибором анзаців дозволив вичерпно описати приховані симетрії рівнянь із цього класу та побудувати точні розв'язки таких рівнянь. Нові розв'язки також побудовано методом некласичної редукції завдяки встановленому зв'язку з потенціальним рівнянням швидкої дифузії з нелінійністю степеня - 1. Задачу групової класифікації розв'язано і для класу узагальнених рівнянь Бюргерса з лінійним уповільненням, де коефіцієнти залежать від часу. Результат класифікації використано для побудови точних розв'язків таких рівнянь.

Виконано групову класифікацію ненормалізованого класу узагальнених рівнянь Кавахари зі змінними коефіцієнтами. Для цього спочатку досліджено допустимі перетворення та проведено розбиття цього класу на 2 нормалізованих підкласи, для кожного з яких побудовано групоїди еквівалентності. В результаті виокремлено всі рівняння з класу, які допускають розширення ліївської симетрії.

Увагу приділено розвитку методів групової класифікації класів диференціальних рівнянь і дослідженню їх узагальнених груп еквівалентності. Вивчено допустимі перетворення та ліївські симетрії класу рівнянь реакцїі-дифузії і класу загальних рівнянь Бюргерса-Кортевега-де Фріза та його підкласів рівнянь із коефіцієнтами, залежними лише від часової чи лише від просторової змінних, а також класу рівнянь Бюргерса зі змінними коефіцієнтами. Вперше строго побудовано узагальнені та розширені узагальнені групи еквівалентності. Введено поняття ефективної узагальненої групи еквівалентності. Знайдено кілька прикладів таких груп і досліджено їх основні властивості. Формалізовано метод розгалуженого розщеплення. Проведено розширений симетрійний аналіз системи, що моделює ізотермічний дрейфовий потік, для якої знайдено всі локальні розв'язки, узагальнені симетрії, косиметрії, локальні закони збереження та нескінченну сім'ю узгоджених гамільтонових структур.

Звернено увагу на питання теорії і застосування груп Лі стосовно диференціальних рівнянь (як звичайних, так і в частинних похідних). Розглянуто значну кількість конкретних прикладів. Мета монографії — навчити читача практично користуватися апаратом теорії груп Лі, використовуючи для досить трудомістких разв’язань найпотужнішу у світі систему комп’ютерної математики Maple. Скорочено викладено основні теоретичні відомості, наведено розв’язання типових прикладів, як «вручну», так і з використанням системи комп’ютерної математики Maple. Ці два види розв’язання наведено паралельно для того, щоб легше було засвоїти техніку роботи в Maple.