Розглянуто наближене розв'язування мішаної задачі для рівняння Лапласа у осесиметричній області, утвореній обертанням 2-х замкнених гладких кривих навколо однієї з осей координат. За допомогою теорії потенціалу задачу редуковано до системи поверхневих інтегральних рівнянь. Враховуючи симетрію області, їх перетворено до одновимірних інтегральних рівнянь з логарифмічною особливістю в ядрах. Числове розв'язування виконано за методом тригонометричних квадратур. Показано супералгебричну швидкість збіжності наближених розв'язків, що підтверджено наведеними результатами числових експериментів.

Досліджено динаміку стаціонарних структур у нелінійному оптичному резонаторі з перетворенням відображення. Математичною моделлю системи є параболічне рівняння з перетворенням відображення просторової змінної й умовами періодичності. Розглянуто еволюцію форм і стійкість структур у разі зменшення коефіцієнта дифузії. Використано метод центральних різноманіть.

Викладено засади нової теорії параболічних початково-крайових задач у шкалах узагальнених анізотропних просторів Соболева. Ці шкали калібровані істотно більш тонко за допомогою функціонального показника регулярності, ніж класи просторів, які раніше використовували в теорії параболічних диференціальних рівнянь. Монографію вирізняє систематичне застосування методу квадратичної інтерполяції з функціональним параметром абстрактних і соболєвських гільбертових просторів.

За допомогою методу відокремлення змінних побудовано розв'язок досліджуваної задачі з невідомим коефіцієнтом у диференціальному рівнянні. Вивчено властивості спектральної задачі для диференціального рівняння другого порядку з інволюцією. Досліджено залежність спектра оператора задачі та його кратності, а також структури системи кореневих функцій і часткових розв'язків задачі від інволютивної частини рівняння. Встановлено умови існування і єдиності розв'язку оберненої задачі. Для визначення шуканого коефіцієнта знайдено та розв'язано інтегральне рівняння Вольтерра другого роду.

Рівняння Пуассона - це одне з фундаментальних диференціальних рівнянь, яке використовується для моделювання складних фізичних процесів, таких як рух рідини, проблеми теплообміну, електродинаміки тощо. Існуючі методи розв'язування крайових задач на основі рівняння Пуассона для досягнення високої точності, вимагають збільшення часу обчислень. Запропонований метод дозволяє розв'язувати крайову задачу зі значним прискоренням, за умови незначної втрати точності. Мета роботи - розробка архітектури штучної нейронної мережі для розв'язування крайової задачі на основі рівняння Пуассона з довільними крайовими умовами Діріхле та Неймана. Метод. Запропоновано метод розв'язування крайових задач на основі рівняння Пуассона за допомогою згорткової нейронної мережі. Розроблено архітектуру мережі, структуру вхідних та вихідних даних. Також описано метод формування навчального набору даних. Результати. Результати роботи розробленої нейронної мережі були порівняні з продуктивністю чисельного методу скінченних різниць для вирішення крайової задачі. Результати продемонстрували прискорення обчислювальної швидкості у x10 - 700 разів, залежно від кількості вузлів дискретизації. Висновки: запропонований метод значно прискорив швидкість вирішення крайової задачі на основі рівняння Пуассона в порівнянні з чисельним методом. Також розроблений підхід до проектування архітектури нейронної мережі дозволяє вдосконалити запропонований метод для досягнення більш високої точності при моделюванні процесу розподілу тиску у областях довільного розміру.

Задача розглядається в циліндричній області змінних t, x, яка є декартовим добутком відрізка, що містить нуль, на одиничне коло, і поділена на дві підобласті гіперплощиною t = 0. У кожній підобласті розв'язок задачі задовольняє відповідні диференціальні рівняння з багатоточковими умовами у випадку кратних вузлів, а на межі поділу t = 0 - умови лінійного спряження. Вигляд області накладає додаткові умови на періодичність розв'язку за просторовою змінною x. Досліджено умови коректної розв'язності задачі у просторі Соболєва, які тісно пов'язані з проблемою малих знаменників і їх оцінюванням. За допомогою метричного підходу встановлено, що такі умови виконуються для майже всіх (стосовно міри Лебега) векторів, складених із вузлів інтерполяції багатоточкових умов.

Розглянуто застосування методів теорії наближення до принципів оптимальності в теорії прийняття рішень. Часто функція ризику в процесі відшукання оптимальних рішень має досить складну структуру для вивчення її властивостей, тому виникає потреба наблизити функцію ризиків до іншої функції з простими та зрозумілими характеристиками. Досліджено асимптотичні властивості розв'язків бігармонійних рівнянь як функцій наближення. Отримано повні асимптотичні розклади верхніх меж відхилень функцій класу Соболєва W (це множина, якій належать функції ризику в процесі оптимізації прийняття рішень) від операторів, що є розв'язками бігармонійних рівнянь із певними крайовими умовами. Отримані розклади надають змогу знаходити константи Колмогорова - Нікольського як завгодно високого степеня малості, завдяки чому можна оцінювати похибку наближення під час розв'язування оптимізаційних задач із довільною точністю. Зазначено, що за допомогою бігармонійних рівнянь можна ефективно будувати математичні моделі природничих і соціальних явищ.

Досліджено загальну крайову задачу для нерівномірно 2b-параболічних рівнянь із виродженням. Коефіцієнти параболічних рівнянь і крайових умов допускають степеневі особливості довільного порядку за будь-якими змінними на деякій множині точок. За допомогою апріорних оцінок і теорем Арцела і Рісса встановлено існування та інтегральне зображення єдиного розв'язку сформульованої крайової задач. Знайдено оцінки розв'язку загальної параболічної крайової задачі та його похідних у гельдерових просторах зі степеневою вагою. Порядок степеневої ваги визначається через величини порядків степеневих особливостей і вироджень коефіцієнтів 2b-параболічних рівнянь і крайових умов.

Індекс рубрикатора НБУВ: В161.622 + В161.626.3 + В161.626.63

Рубрики:

Загальні властивості розв'язка диференціальних рівнянь

Диференціальні рівняння другого порядку параболічного типу

Системи параболічного типу

Шифр НБУВ: РА449265 Пошук видання у каталогах НБУВ 

The problem of numerical determination of Lyapunov-stable (exponential stability) solutions of the Saint - Venant equations system has remained open until now. The authors of this paper previously proposed an implicit upwind difference splitting scheme, but its practical applicability was not indicated there. In this paper, the problem is solved successfully, namely, an algorithm for calculating Lyapunov-stable solutions of the Saint - Venant equations system is developed and implemented using an upwind implicit difference splitting scheme on the example of the Big Almaty Canal (hereinafter BAC). As a result of the proposed algorithm application, it was established that: 1) we were able to perform a computational calculation of the numerical determination problem of the water level and velocity on a part of the BAC (10,000 meters) located in the Almaty region; 2) the numerical values of the water level height and horizontal velocity are consistent with the actual measurements of the parameters of the water flow in the BAC; 3) the proposed computational algorithm is stable; 4) the numerical stationary solution of the system of Saint - Venant equations on the example of the BAC is Lyapunov-stable (exponentially stable); 5) the obtained results (according to the BAC) show the efficiency of the developed algorithm based on an implicit upwind difference scheme according to the calculated time. Since we managed to increase the values of the difference grid time step up to 0,8 for calculating the numerical solution according to the proposed implicit scheme.

Досліджено необхідні умови для лінійних рівнянь змішаного типу в обмеженій області на площині. Ці необхідні умови визначаються за допомогою інтегральних співвідношень і при цьому використовуються фундаментальні розв'язки таких рівнянь.

Розглянуто постановки й алгоритми розв'язання багатоточкових крайових задач, задач з імпульсною дією та задач з інтегральними умовами для параболічних рівнянь другого порядку. Увагу приділено побудові функції Гріна однорідної задачі Діріхле, крайовій задачі Неймана, нелокальним крайовим задачам для параболічних рівнянь другого порядку, принципу максимуму для розв'язків першої нелокальної крайової задачі.

Досліджено загальну еліптичну задачу, задану в обмеженій евклідовій області, з крайовими даними у просторах Нікольського низького, зокрема, від'ємного порядку. Припускається, що права частина еліптичного диференціального рівняння є інтегровною функцією. Встановлено нетеровість задачі, максимальну регулярність та апріорну оцінку її узагальнених розв'язків у вказаних просторах. Наведено застосування цих результатів до деяких еліптичних задач з крайовими даними, породженими гауссовим білим шумом.

Розглянуто питання коректної розв'язності та побудови розв'язку за системою ортогональних функцій крайової задачі з даними на всій межі області для лінійного однорідного гіперболічного рівняння другого порядку зі змінними за просторовими координатами коефіцієнтами. Для випадку, коли праві частини крайових умов задано з похибкою, побудовано регуляризуючий алгоритм для знаходження наближеного розв'язку розглядуваної задачі.

Еліптичні задачі з додатковими невідомими узагальненими функціями у крайових умовах досліджено в просторах Бєсова та Соболєва - Трібеля - Лізоркіна низької регулярності, зокрема, довільного від'ємного порядку. Встановлено, що такі задачі породжують нетерові обмежені оператори на відповідних парах цих просторів.

Отримано ряд теорем про неперервне i гомеоморфне продовження на межу гомеоморфних узагальнених розв’язкiв рiвнянь Бельтрамi, що вироджуються. Зазначено, що у разi регулярних областей мова йде про поточкову вiдповiднiсть на межi, а в разi нерегулярних областей – за простими кiнцями Каратеодорi. На цiй основi отримано ряд теорем про iснування регулярних (неперервних, дискретних i вiдкритих) узагальнених розв’язкiв задачi Дiрiхле з неперервними (i бiльш загальними) граничними даними в довiльних жорданових областях, а також псевдорегулярних (з сингулярностями типу полюсiв) i багатозначних розв’язкiв в областях, якi обмеженi скiнченним числом жорданових кривих. В областях з нерегулярними границями вiдповiднi теореми сформульованi в термiнах простих кiнцiв за Каратеодорi.

Зроблено огляд результатів побудови, дослідження і застосувань фундаментальних розв'язків задачі Коші для декількох класів вироджених параболічних рівнянь.

Досліджено задачу Коші для нерівномірно 2b-параболічних рівнянь із виродженнями. Коефіцієнти параболічних рівнянь можуть мати степеневі особливості довільного порядку за будь-якими змінними на деякій множині точок. За допомогою апріорних оцінок і теорем Арцела і Рісса встановлено існування та інтегральне зображення єдиного розв'язку поставленої задачі Коші. Знайдено оцінки розв'язку задачі Коші та його похідних у гельдерових просторах зі степеневою вагою. Порядок степеневої ваги визначається через величини порядків степеневих особливостей і вироджень коефіцієнтів 2b-параболічних рівнянь.

За допомогою апріорних оцінок і теореми Рісса досліджено крайову задачу для нерівномірно 2b-еліптичних рівнянь з довільними степеневими особливостями на деякій множині точок у коефіцієнтах рівняння і крайових умов. Встановлено існування та інтегральне зображення єдиного розв'язку сформульованої крайової задачі у гельдерових просторах зі степеневою вагою, порядок якої визначається через величини порядків особливостей у коефіцієнтах рівняння і крайових умов.

Індекс рубрикатора НБУВ: В161.626.3

Рубрики:

Диференціальні рівняння другого порядку параболічного типу

Шифр НБУВ: Ж24749 Пошук видання у каталогах НБУВ