Розглянуто застосування методів теорії наближення до принципів оптимальності в теорії прийняття рішень. Часто функція ризику в процесі відшукання оптимальних рішень має досить складну структуру для вивчення її властивостей, тому виникає потреба наблизити функцію ризиків до іншої функції з простими та зрозумілими характеристиками. Досліджено асимптотичні властивості розв'язків бігармонійних рівнянь як функцій наближення. Отримано повні асимптотичні розклади верхніх меж відхилень функцій класу Соболєва W (це множина, якій належать функції ризику в процесі оптимізації прийняття рішень) від операторів, що є розв'язками бігармонійних рівнянь із певними крайовими умовами. Отримані розклади надають змогу знаходити константи Колмогорова - Нікольського як завгодно високого степеня малості, завдяки чому можна оцінювати похибку наближення під час розв'язування оптимізаційних задач із довільною точністю. Зазначено, що за допомогою бігармонійних рівнянь можна ефективно будувати математичні моделі природничих і соціальних явищ.

Задача розглядається в циліндричній області змінних t, x, яка є декартовим добутком відрізка, що містить нуль, на одиничне коло, і поділена на дві підобласті гіперплощиною t = 0. У кожній підобласті розв'язок задачі задовольняє відповідні диференціальні рівняння з багатоточковими умовами у випадку кратних вузлів, а на межі поділу t = 0 - умови лінійного спряження. Вигляд області накладає додаткові умови на періодичність розв'язку за просторовою змінною x. Досліджено умови коректної розв'язності задачі у просторі Соболєва, які тісно пов'язані з проблемою малих знаменників і їх оцінюванням. За допомогою метричного підходу встановлено, що такі умови виконуються для майже всіх (стосовно міри Лебега) векторів, складених із вузлів інтерполяції багатоточкових умов.

Еліптичні задачі з додатковими невідомими узагальненими функціями у крайових умовах досліджено в просторах Бєсова та Соболєва - Трібеля - Лізоркіна низької регулярності, зокрема, довільного від'ємного порядку. Встановлено, що такі задачі породжують нетерові обмежені оператори на відповідних парах цих просторів.

The problem of numerical determination of Lyapunov-stable (exponential stability) solutions of the Saint - Venant equations system has remained open until now. The authors of this paper previously proposed an implicit upwind difference splitting scheme, but its practical applicability was not indicated there. In this paper, the problem is solved successfully, namely, an algorithm for calculating Lyapunov-stable solutions of the Saint - Venant equations system is developed and implemented using an upwind implicit difference splitting scheme on the example of the Big Almaty Canal (hereinafter BAC). As a result of the proposed algorithm application, it was established that: 1) we were able to perform a computational calculation of the numerical determination problem of the water level and velocity on a part of the BAC (10,000 meters) located in the Almaty region; 2) the numerical values of the water level height and horizontal velocity are consistent with the actual measurements of the parameters of the water flow in the BAC; 3) the proposed computational algorithm is stable; 4) the numerical stationary solution of the system of Saint - Venant equations on the example of the BAC is Lyapunov-stable (exponentially stable); 5) the obtained results (according to the BAC) show the efficiency of the developed algorithm based on an implicit upwind difference scheme according to the calculated time. Since we managed to increase the values of the difference grid time step up to 0,8 for calculating the numerical solution according to the proposed implicit scheme.

Знайдено конструктивний алгоритм побудови диференціальних рівнянь вищих парних порядків, розв'язками яких є узагальнені класичні ортогональні поліноми. Для цих поліномів одержано явне зображення, тричленне рекурентне співвідношення та вигляд умов ортогональності залежно від відповідної функції розподілу. Наведено розв'язки відповідних резонансних рівнянь.

Індекс рубрикатора НБУВ: В161.626.5

Рубрики:

Диференціальні рівняння у частинних похідних, порядок яких вище двох

Шифр НБУВ: Ж43974 Пошук видання у каталогах НБУВ 

За допомогою допоміжної задачі на власні значення одержано деякі явні оцінки для періодичних і напівперіодичних власних значень і довжин інтервалів нестабільності для рівняння Хілла з симетричним одноямним потенціалом. Наведено оцінки для щілин у множинах власних значень Діріхле та Неймана.

У шкалі просторів Соболєва отримано коректну розв'язність задачі спряження з локальними багатоточковими умовами за виділеною змінною та умовами періодичності за іншою координатою для мішаних рівнянь гіперболічного типу високих порядків. Доведено метричні теореми про оцінки знизу малих знаменників, які виникли при побудові розв'язку задачі. Доведено, що такі умови виконуються для майже всіх (стосовно міри Лебега) векторів складених із вузлів інтерполяції багатоточкових умов.

Індекс рубрикатора НБУВ: В161.626.5

Рубрики:

Диференціальні рівняння у частинних похідних, порядок яких вище двох

Шифр НБУВ: Ж69832 Пошук видання у каталогах НБУВ 

Досліджено спектральні властивості розривних задач типу Штурма - Ліувілля із запізненням аргументу. Розширено й узагальнено деякі підходи і результати класичних регулярних і розривних задач Штурма - Ліувілля. Спочатку проведено вивчення спектральних властивостей задачі Штурма - Ліувілля на півосі й одержано нижні оцінки для власних значень задачі. Потім вивчено спектральні властивості задачі Штурма - Ліувілля з розривною ваговою функцією, яка містить спектральний параметр в крайових умовах. Також одержано асимптотичні формули для власних значень і власних функцій задачі та межі відстані між власними значеннями.

Індекс рубрикатора НБУВ: В161.626.5

Рубрики:

Диференціальні рівняння у частинних похідних, порядок яких вище двох

Шифр НБУВ: Ж72614 Пошук видання у каталогах НБУВ 

Досліджено однозначну розв'язність крайових задач із похідними по нормалі, з неперервними й узагальненими умовами склеювання для навантаженого рівняння третього порядку.

Індекс рубрикатора НБУВ: В161.626.53

Рубрики:

Власні функції та власні значення

Шифр НБУВ: Ж26161 Пошук видання у каталогах НБУВ 

Для гіперболічного рівняння високого порядку з домінуючою мішаною похідною досліджується розв'язність нелокальної задачі з інтегральними умовами. Сформульовану задачу зведено до інтегрального рівняння і за допомогою апріорних оцінок доведено існування єдиного розв'язку.

Індекс рубрикатора НБУВ: В161.626.53

Рубрики:

Власні функції та власні значення

Шифр НБУВ: Ж26161 Пошук видання у каталогах НБУВ 

У циліндричній області досліджено задачу з багатоточковими умовами за часовою змінною та умовами типу Діріхле за просторовими координатами для параболічних рівнянь довільних порядків зі змінними коефіцієнтами. Встановлено умови існування та єдиності розв'язку задачі. Доведено метричні теореми про оцінки знизу малих знаменників, які виникли у ході побудови розв'язку задачі.

Для процессов, описываемых начально-краевой задачей для линейного уравнения с частными производными третьего порядка методом моментов, построено оптимальное управление. При этом сначала методом разделения переменных получено представление решения начально-краевой задачи. Далее с помощью метода моментов построено оптимальное управление в виде двойного ряда и доказана сходимость этого ряда.

Встановлено умови існування в шкалі просторів Соболева єдиного розв'язку задачі з інтегральними умовами у вигляді моментів для рівнянь із частинними похідними високого порядку. Розв'язок цієї задачі побудовано за допомогою перетворення Фур'є.

Здійснено огляд відомих прикладів практичних застосувань оберненої задачі на власні значення у різних наукових та інженерних сферах досліджень. Представлено існуючі числові методи та різноманітні техніки відшукання розв'язку оберненої спектральної задачі.

В області, що є декартовим добутком відрізка на багатовимірний тор, досліджено крайову задачу з умовами Діріхле - Неймана за виділеною змінною та умовами періодичності за іншими координатами для лінійних загальних (незалежно від типу) рівнянь із частинними похідними високого порядку зі сталими коефіцієнтами, ізотропних щодо порядку диференціювання за незалежними змінними. Встановлено умови однозначної розв'язності задачі та конструктивно побудовано її розв'язок у вигляді ряду за системою ортогональних функцій. Для оцінок знизу малих знаменників, що виникли під час побудови розв'язку задачі, використано метричний підхід.