Досліджено власні коливання в системі з локальним збуренням густини. Якщо збурення маси є досить великим, то виникають явища локальних і глобальних коливань. Повні асимптотичні розвинення глобальних власних коливань побудовано для звичайного диференціального оператора четвертого порядку із використанням ВКБ--наближень.

Розглянуто просту слабко нелінійну еліптичну задачу на власні функції. На її прикладі демонструються функціонально-топологічні методи, які дають інформацію про критичні числа майже тієї ж детальності (якісно), що і розділення змінних в аналогічній лінійній задачі.

Досліджено спектральні властивості коливної системи, що складається з двох компонент з подібними пружними властивостями, але суттєво різною густиною маси. Припущено, що коливання цієї системи можна описати диференціальним оператором четвертого порядку, а малий параметр є сумірним з відношенням середніх значень густини компонент. Для даної моделі доведено існування низькочастотних власних коливань. З застосуванням ВКБ-апроксимації та степеневих розвинень побудовано послідовності квазімод, які є збіжними до високочастотних власних функцій. Обгрунтовано асимптотики завдяки оцінці різниці між частковими сумами розвинень і справжніми власними значеннями та власними функціями задач.

Досліджено спектральні властивості одновимірної системи, яка описується диференціальним оператором четвертого порядку, із густиною, яка необмежено зростає на частині відрізка. У такій задачі виникають два типи власних функцій - низькочастотні та високочастотні, які відповідають власним значенням різного порядку. За допомогою методу БКБ-наближень побудовано асимптотики високочастотних коливань.

Розглянуто сукупність крайових задач на власні функції, параметром якої є потенціал. Досліджено гладку структуру та гомотопічні властивості многовидів власних функцій та многовидів вироджених потенціалів, яким відповідають двократні власні значення.

Для багатовимірного гіперболічного рівняння з хвильовим оператором у головній частині показано, що спектральна задача Дарбу - Проттера має зчисленну множину власних функцій, а спряжена до неї - вольтеррова задача.

Індекс рубрикатора НБУВ: В161.626.53

Рубрики:

Власні функції та власні значення

Шифр НБУВ: Ж16294 Пошук видання у каталогах НБУВ 

Асимптотичні формули для великих значень параметра розв'язків сингулярного диференціального рівняння дозволяють оцінити функцію Гріна крайової задачі. За допомогою цієї оцінки побудовано розвинення за власними функціями сингулярного диференціального оператора у випадку простих власних значень.

Індекс рубрикатора НБУВ: В161.626.53

Рубрики:

Власні функції та власні значення

Шифр НБУВ: Ж26161 Пошук видання у каталогах НБУВ 

Досліджено сумовність за методом Абеля системи власних і приєднаних функцій крайових задач типу Біцадзе - Самарського для еліптичних рівнянь у прямокутнику. Такі задачі зводяться до крайової задачі для еліптичних диференціально-операторних рівнянь із оператором за крайових умов у відповідних просторах і досліджуються за допомогою методу диференціально-операторних рівнянь.

Розглянуто питання поведінки власних значень та власних функцій задачі Діріхле для лінійних рівнянь другого та високого порядків і нелінійного рівняння другого порядку в послідовності перфорованих областей з неперіодичною структурою. Вивчено характер збіжності власних функцій задачі Діріхле для лінійного рівняння другого порядку в послідовності областей з дрібнозернистою межею до відповідних власних функцій граничної задачі. Досліджено збіжність власних значень і власних функцій задачі Діріхле для лінійного рівняння високого порядку в послідовності перфорованих областей загальної структури до відповідних власних значень і власних функцій усередненої задачі з мірою. Висвітлено проблему усереднення задачі Діріхле на власні значення для нелінійних рівнянь другого порядку в послідовності областей з дрібнозернистою межею.

  Скачати повний текст

Проведено дослідження задач на власні значення для диференціальних і квазідиференціальних рівнянь з узагальненими похідними функцій обмеженої варіації (мірами) у коефіцієнтах. Одержано асимптотику для великих значень параметра фундаментальної системи розв'язків диференціальних і квазідиференціальних рівнянь, з використанням якої досліджено асимптотичну поведінку власних значень та функцій крайових задач. Побудовано спряжені крайові умови та функцію Гріна у випадку диференціальних і квазідиференціальних опрераторів, досліджено її властивості. Знайдено умови перетворення функцій у ряди за власними функціями крайових задач. Одержані результати рекомендовано використовувати для розв'язання прикладних задач механіки.

Вивчено асимптотичну поведінку власних значень та власних підрозділів операторів Шредінгера зі сингулярними потенціалами на некомпактних зіркових графах. Одержано асимптотику коефіцієнтів розсіяння на сингулярних потенціалах, що локалізуються у вершинах графа. Як у випадку прямої, так і у випадку графів виявлено явище резонансу для межової поведінки спектра та коефіцієнтів розсіяння.

Наведено результати дослідження асимптотики власних значень і власних функцій та розвинення за ними крайових задач для звичайних диференціальних і квазідиференціальних рівнянь з мірами в коефіцієнтах. Побудовано відповідні асимптотичні формули та наведено умови, за яких можна розвивати функції в ряди за власними функціями. Увагу приділено асимптотиці фундаментальної системи розв'язків квазідиференціального рівняння, побудові скалярної функції Гріна та її властивостям, оцінці квазіпохідних функції Коші, розвиненню за власними функціями крайової задачі для диференціального рівняння.

Знайдено власні значення та власні функції задач Геллерстедта для багатовимірного рівняння Лаврентьєва - Біцадзе.

Показано, що існує зліченна множина власних функцій спектральної задачі Трікомі для багатовимірних мішаних гіперболо-параболічних рівнянь.

Проведено усереднення спектральної задачі на мілкоперіодичній сітці з періодичними крайовими умовами. Побудовано асимптотичне розкладення для власних функцій і відповідних власних значень задачі на сітці. Доведено теорему, яка є обгрунтуванням побудованої асимптотики для деяких власних значень і власних функцій задачі на сітці.

Дано развитие аналитического метода факторизации при решении задач на собственные значения для дифференциального уравнения второго порядка с переменными коэффициентами. Метод позволяет найти ряд точных решений задачи о колебаниях стержней переменного сечения как активных элементов ультразвуковых систем общего назначения. Найдены все те геометрические конфигурации стержней переменного сечения, при которых осуществима реализация метода и на основе чего возможно дальнейшее развитие теоретических основ проектирования и расчета резонансных акустических систем.

Індекс рубрикатора НБУВ: В161.626.53

Рубрики:

Власні функції та власні значення

Шифр НБУВ: Ж29409/А Пошук видання у каталогах НБУВ