На основі подання оригіналу через ортогональні ряди в базисі класичних ортогональних многочленів запропоновано адаптивну за точністю схему відновлення диференційовних оригіналів та оригіналів, що мають розриви 1-го роду. Параметром регуляризації є порядок часткової суми ортогонального ряду, якою апроксимуємо шуканий оригінал.

Побудовано інтегральні зображення коефіцієнтів Фур'є-Якобі у вигляді інтегралів типу Рімана-Мелліна і на цій основі встановлено асимптотичні формули для обчислення коефіцiєнтів при великих порядкових номерах.

Розглянуто спосіб використання швидкого алгоритму Фур'є в задачах апроксимації функцій ортогональними рядами в базисі багаточленів Якобі та в спектральному методі обернення інтегрального перетворення Лапласа.

Обчислено суми поліпараметричних функціональних рядів, які виникають при розв'язуванні стаціонарних задач математичної фізики як однорідних так і неоднорідних (кусково-однорідних) середовищ, що перебувають під діянням стрибкоподібних навантажень. Загальні члени таких рядів є суперпозицією алгебраїчних функцій та власних функцій, породжених відповідною спектральною задачею Штурма-Ліувілля для деференціальних операторів Фур'є, Бесселя, Лежандра або гібридних диференціальних операторів, утворених можливим сполученням диференціальних операторів Фур'є, Бесселя, Лежандра на сегменті з одною та двома точками спряження.

Обчислено суми поліпараметричних функціональних рядів, які виникають під час розв'язування стаціонарних задач математичної фізики однорідних і неоднорідних (кусково-однорідних) середовищ, що перебувають під дією стрибкоподібних навантажень. Загальні члени даних рядів є суперпозицією алгебричних функцій, породжених відповідною спектральною задачею Штурма - Ліувілля для диференціальних операторів (ДО) Фур'є, Бесселя, Лежандра або гібридних ДО, утворених можливим сполученням ДО Фур'є, Бесселя, Лежандра на сегменті з одною та двома точками спряження.

Методами порівняння розв'язків, побудованих на полярній осі з точкою спряження для сепаратної системи диференціальних рівнянь Бесселя (з виродженням за другої похідної) та Лежандра, функцій Коші та гібридного інтегрального перетворення типу Конторовича - Лєбєдєва 1-го роду - Лежандра одержано зображення сім'ї невласних інтегралів від функцій Лежандра й Бесселя з комплексним значком.

В обмеженій просторово-часовій області розв'язано задачі керування динамікою систем з інтегрально заданою моделлю. Розглянуто випадки керування розподіленими зовнішньо-динамічними збуреннями, а також крайовими умовами на зовнішніх і внутрішніх контурах області.

Одержано формулу розкладу довільної функції в ряд за власними функціями крайової задачі Штурма - Ліувілля для диференціального рівняння функцій конуса та на цій базі виведено серію інтегральних перетворень (у тому числі відомих) і формул обернення для них. Одержано застосування цих формул до розв'язання початково-крайових задач теорії теплопровідності для кругових порожнистих конусів, зрізаних сферичними поверхнями.

Вивчено зв'язок між коректністю еквіваріантної задачі для рівняння Пуассона в кулі та спектра оператора, що її породжує.

Доведено, що образ Фур'є є аналітичною функцією всередині двох протилежних кутів, якщо оригінал Фур'є має аналогічну властивість.

Обчислюються невласні інтеграли, що виникають при розв'язанні стаціонарних задач математичної фізики неоднорідних структур, дослідженні математичних моделей лінійних і нелінійних процесів та ін. Підінтегральні функції є суперпозицією алгебраїчних функцій, тригонометричних функцій, функцій Бесселя та функцій Лежандра і являють собою власні функції, породжені гібридними диференціальними операторами (всілякі сполучення диференціальних операторів другого порядку Фур'є, Бесселя та Лежандра на декартовій і полярній осі з точками спряження).

Представлены результаты последних лет, относящиеся к трем взаимосвязанным разделам: интегральной геометрии, инвариантным дифференциальным операторам и теории сферических функций и сферических преобразований. Особое внимание уделяется вопросам изучения различных классов функций с данными интегральными средними, решению ряда экстремальных задач о множествах Помпейю и исследованию некоторых локальных вариантов классической проблемы Помпейю. Рассматривается решение проблемы Л.Зальцмана об аналитичности функции, имеющей нулевые интегралы по конформно-инвариантному семейству окружностей; получение точных характеристик роста функций, удовлетворяющих уравнению средних значений по всем шарам фиксированного радиуса, которые обеспечивают гармоничность этих функций; доказательство теорем единственности для кратных тригонометрических рядов с пропусками и др.

Построена теория интегральных преобразований Фурье для кусочно-однородной полуоси и их обращений посредством преобразований с ядрами Миттаг-Леффлера.

Построена теория интегральных преобразований Фурье для кусочно-однородной среды и их обращений посредством преобразований с ядрами Миттаг - Леффлера.

Запропоновано операцiйний метод розв'язування задачi Кошi для рiвнянь i систем рiвнянь iз частинними похiдними. Вказано його переваги над вiдомими методами. Подано ряд iлюстративних прикладiв використання методу.

Синтезовано алгоритми одно- та двовимірних косинусних та синусних перетворень, які мають найменші обчислювальні затрати серед відомих алгоритмів даного класу. Вони відзначаються простотою структури, яка збігається для косинусних та синусних перетворень, що сприяє побудові уніфікованих засобів їх реалізації.

Построены смешанные свертки Стилтьеса-Гильберта и синус-косинус-Фурье, рассмотрены их свойства и применение для решения интегральных уравнений.

Методом дельта-подібної послідовності побудовано гібридне інтегральне перетворення, породжене на обмеженій справа декартовій півосі прямим сполученням диференціальних операторів Фур'є, Бесселя та узагальненого диференціального оператора Лежандра.

Методом дельта-подібних послідовностей (ядро Коші) запроваджено гібридні інтегральні перетворення Лежандра 1-го роду - Конторовича - Лєбєдєва - Фур'є на полярній осі r >= 0 з двома точками спряження.

Методом дельтоподібних послідовностей (ядро Коші) запроваджено гібридні інтегральні перетворення Канторовича-Лєбєдєва 1-го роду-Лежандра 2-го роду-Фур'є на полярній осі r >= 0 з двома точками спряження.