Увагу приділено просторам зі скалярним добутком. Описано нерівність Шварца та норму на передгільбертовому просторі. Розглянуто ортогональні елементи та теорему Піфагора. Надано визначення тотожності паралелограма й охарактеризовано передгільбертові простори. Розкрито означення та приклади гільбертових просторів. Увагу приділено непреривності скалярного добутку й ортогональному доповненню, елементу найкращого наближення й ортогональності. Описано проксимінальність опуклої замкненої множини у гільбертовому просторі та теорему про проекцію. Наведено теорему Рісса про опис спряженого з гільбертовим простором. Увагу приділено слабкій топології та збіжності на гільбертовому просторі. Наведено означення та приклади ортогональних та ортонормованих систем. Описано коефіцієнти Фур'є, їх екстемальну властивість і тотожність, нерівність Бесселя, а також ряди Фур'є, ортонормовані базиси, тотальні та замкнені ортонормовані системи. Розглянуто теорему Рісса - Фішера й ізоморфізм гільбертових просторів.

Кратко изложены базовые понятия (множества, точечные множества, отношения на множествах и функции, алгебраические структуры). Рассмотрены свойства метрических и нормированых пространств. Акцентировано внимание на теориях меры, вариации и итеграла. Освещены топологические пространства. После опредиления линейного пространства, пространства Банаха и гильбертова пространства на них вводятся функционалы, которые играют важную роль при решении прикладных задач (дифференцирования, интегрирования, распознавания образов и др.). Указано, что для многих прикладных вопросов (например, цифровой обработки сигналов) важную роль играет ряд Фурье, а также преобразование Фурье.