Викладено основи ріманової геометрії багатовидів та їх відображень. Сформовано базові поняття (багатовиди, векторні та тензорні поля, локальні потоки, ріманові метрики, афінна зв'язність, геодезичні криві) та апарат їх дослідження (коваріантне диференціювання та диференціювання Лі тензорних полів, зовнішнє диференціювання та інтегрування диференціальних форм). Розглянуто теорію класичних типів відображень (ізометричних, конформних, афінних, геодезичних занурень і дифеоморфізмів). Висвітлено взаємозв'язки ріманової геометрії з аналітичною механікою та теорією фізичних полів.

Зазначено, що ідея використання другої фундаментальної форми гіперповерхні як першої фундаментальної форми іншої гіперповерхні знайшла дуже важливі застосування у рімановій і напіврімановій геометрії, зокрема під час опису зовнішніх гіперсфер та овалоїдів. Нещодавно T. Adachi та S. Maeda навели характеристику тотально омбілічних гіперповерхонь у просторовій формі за допомогою кіл. Наведено характеристику тотально омбілічних гіперповерхонь просторової форми за допомогою геодезичних відображень.

Доведено узагальнення теореми Топоногова про довжину кривої у двовимірному рімановому просторі на випадок двовимірного простору Александрова.