Раскрыты возможности по вычислению определенных интегралов с помощью теоремы о среднем значении. Приведены многочисленные примеры вычисления интегралов вероятностей, рефракции, одномерных и многомерных интегралов, находящих применение при определении параметров решения проблемы производительности. Описаны законы образования производных высших порядков (тригонометрические, логарифмические, гиперболические, показательные и другие функции), сложный закон образования производных (формула Лейбница) и др.

Определен сингулярный интеграл с ядром котангенс, указано достаточное условие его существования. Предложены элементарные доказательства спектральных свойств оператора Гильберта на базис пространства тригонометрических полиномов и квадратурной формулы интерполяционного типа для сингулярного интеграла с ядром котангенс.

Індекс рубрикатора НБУВ: В192.151 + В161.13

Рубрики:

Квадратичні і кубаторні формули

Функція та її основні властивості

Шифр НБУВ: Ж26161 Пошук видання у каталогах НБУВ 

Індекс рубрикатора НБУВ: В161.514.2 + В192.151

Рубрики:

Проблема моментів

Квадратичні і кубаторні формули

Шифр НБУВ: Ж14648 Пошук видання у каталогах НБУВ 

Індекс рубрикатора НБУВ: В192.151

Рубрики:

Квадратичні і кубаторні формули

Шифр НБУВ: Ж15477 Пошук видання у каталогах НБУВ 

A new quadrature formula is obtained by replacement of the integrand by a spline of the second order. The formula is a generalization of the Simpson's formula in a case of any number of nodes. Its use for a numerical realization of the Fourier direct method in computer tomography is proposed.

На прикладі квадратурної формули Симпсона простежено розвиток ідеї наближеного інтегрування від моделі Ньютона - Котеса до моделі Гаусса - Лежандра. Побудова інтегральної суми трактується як монте-карловське усереднення (емпіричний вибір). Обговорено вплив обсягу вибірки та її раціоналізації на точність оцінок. Установлено зв'язок моделі Гаусса - Лежандра з золотою пропорцією.

  Скачати повний текст

Зазначено, що відома квадратурна формула Сімпсона (парабол) застосовується тільки у випадку непарної кількості вузлів. Уперше запропоновано узагальнення цієї формули на випадок парної кількості значень підінтегральної функції (ПІФ). Для її побудови використовується метод заміни ПІФ сплайном другого порядку та знаходження явного виразу інтегралу від цього сплайна. Теоретично досліджено похибки цієї формули, а також розглянуто приклад її числової реалізації в системі Mathcad. Дані результати можна застосовувати під час побудови математичної моделі комп'ютерного томографа з використанням ітерлінації функції.

Проведен сравнительный анализ спектров кубатурных формул для треугольных конечных элементов, построенных за разными подходами. Для выполнения тестовых экспериментов в среде СКМ MATLAB разработан ряд процедур.

Індекс рубрикатора НБУВ: В192.151

Рубрики:

Квадратичні і кубаторні формули

Шифр НБУВ: Ж64699 Пошук видання у каталогах НБУВ 

Індекс рубрикатора НБУВ: В192.151

Рубрики:

Квадратичні і кубаторні формули

Шифр НБУВ: Ж69472 Пошук видання у каталогах НБУВ 

Рассмотрены особенности вычисления определенных интегралов с помощью теоремы о среднем значении. Приведены примеры вычисления интегралов вероятностей, рефракции и многомерных интегралов, находящих применение при определении параметров решения проблемы производительности. Описаны законы образования производных высших порядков, сложный закон образования производных, формула Лейбница, уравнение траектории распространения луча.

Досліджено поведінку квадратури Гаусса - Лежандра, використану для числового інтегрування локально парних (непарних) функцій. Визначено якість локальної парної (непарної) функції. Аналіз проведено з використанням числових методів та комп'ютерної системи Mathcad 11.

A new numerical formula for the calculation of highly oscillating two-dimensional integrals is given. This formula is constructed with the use of the spline interlineation of functions and is optimal by order of accuracy. With the help of the new formula, two-dimensional integrals are reduced to several one-dimensional integrals. The functions, on which the exact meaning of an error is reached, is given.

Вперше побудовано оптимальні за порядком точності кубатурні формули наближеного обчислення інтегралів від швидкоосцилюючих функцій двох змінних за допомогою операторів кусково-сталої та білінійної сплайн-інтерполяції, заснованих на кусково-сталій та білінійній інтерлінації, з використанням параболічної та кубічної сплайн інтерлінації. Одержано оцінки похибки наближення для різних кубатурних формул на відповідних класах. Виявлено, що нові формули потребують на порядок менше значень неосцилюючого множника підінтегральної функції у порівнянні з аналогічними кубатурними формулами, що використовують класичні сплайни на регулярній сітці за досягнення заданої точності. Запропоновано загальний метод побудови кубатурних формул наближеного обчислення інтегралів від швидкоосицюючих функцій двох змінних з використанням інтерлінації функцій. Побудовано кубатурні формули, які зводять обчислення швидкоосцилюючих інтегралів функції двох змінних до обчислення інтегралів від швидкоосцилюючих функцій однієї змінної. Доведено, що побудовані кубатурні формули є оптимальні за порядком точності на класах диференційованих функцій за деяких обмежень. Знайдено функції, на яких досягається точне значення похибки.

Розглянуто квадратурні формули для сингулярних і гіперсингулярних інтегралів, які будують на базі sinc-апроксимації гладкої частини підінтегральної функції. Ці квадратури застосовні до обмежених, частково необмежених і необмежених інтегралів. Наведено числові приклади.

Для обчислення інтегралів за сферичними областями побудовано кубатурні формули, що містять менше вузлів у порівнянні з відомими.

Розглянуто задачу побудови оптимальних за точністю та близьких до них квадратурних і кубатурних формул обчислення інтегралів від швидкоосцилюючих функцій на класі обмежених функцій з кусково-неперервними першими похідними, обмежених константою в одно- та багатовимірних випадках. Одержано оптимальні оцінки числового інтегрування та оцінки зверху для формул обчислення даних інтегралів у випадку сильної осциляції підінтегральної функції.

Розроблено та розвинено нові рандомізовані обчислювальні методи, адаптовані до конкретних задач відновлення гармонічних функцій в ортотропному середовищі. Розроблено та здійснено комп'ютерне діагностування обчислювальних властивостей дво- і тривимірних кубатурних формул Ньютона - Котеса на дискретних елементах. Значну увагу приділено методу барицентричного усереднення (МБУ), який реалізує прискорену однокрокову схему випадкових блукань методу Монте-Карло. Розширено область використання МБУ на ортотропні середовища. Удосконалено обчислювальні схеми, які містять шаблони з неідеально поглинальними та відбивними вузлами, що дозволяє здійснювати моделювання різноманітних межових умов. На базі нових обчислювальних схем МБУ створено інформаційну технологію для розв'язання стаціонарних задач математичної фізики в ортотропному середовищі. За принципами зваженого усереднення створено ієрархічну процедуру по будови кубатурних формул Ньютона - Котеса на дискретних дво- та тривимірних елементах.