Побудовано прості апостеріорні оцінювачі похибки апроксимацій методу скінченних елементів, здатних надавати двосторонні оцінки похибок таких наближень до розв'язків еліптичних крайових задач. За допущення, що виконуються умова насиченості та підсилена нерівність Коші, показано існування нижньої та верхньої меж похибок. Наведено обчислюваний варіант двосторонніх оцінок, заснований на елементно визначених апостеріорних оцінювачах Діріхле та Неймана для знаходження нижньої та верхньої меж істинної похибки квадратичних серендипових апроксимацій. Особливості, обчислювані характеристики та порівняння цих оцінювачів з побудованими раніше для лінійних і білінійних апроксимацій продемонстровано детальними результатами числових експериментів на прикладі сингулярно збуреної задачі з рівнянням дифузії - адвекції - реакції.

Розглянуто питання побудови методу двобічних наближень знаходження додатного розв'язку задачі Діріхле для напівлінійного еліптичного рівняння на основі використання метода функцій Гріна. Об'єкт дослідження - перша крайова задача (задача Діріхле) для напівлінійного еліптичного рівняння другого порядку. Мета роботи - розробка на основі використання методу функцій Гріна методу двобічних наближень розв'язання задачі Діріхле для напівлінійних еліптичних рівнянь другого порядку і дослідження його роботи при розв'язанні тестових задач. За допомогою методу функцій Гріна вихідна перша крайова задача для напівлінійного еліптичного рівняння замінюється еквівалентним інтегральним рівнянням Гаммерштейна. Інтегральне рівняння подається у вигляді нелінійного операторного рівняння з гетеротонним оператором і розглядається у просторі неперервних функцій, який напівупорядковано за допомогою конуса невід'ємних функцій. За розв'язок (узагальнений) крайової задачі приймаємо розв'язок еквівалентного інтегрального рівняння. Для гетеротонного оператора знаходиться сильно інваріантний конусний відрізок, кінці якого є початковими наближеннями для двох ітераційних послідовностей. Перша з цих ітераційних послідовностей є монотонно зростаючою і наближає шуканий розв'язок крайової задачі знизу, а друга є монотонно спадною і наближає його зверху. Наведено умови існування єдиного додатного розв'язку розглядуваної задачі Діріхле та двобічної збіжності до нього послідовних наближень. Наведено загальні рекомендації з побудови сильно інваріантного конусного відрізка. Розроблений метод має просту обчислювальну реалізацію і зручну для використання на практиці апостеріорну оцінку похибки. Розроблений метод програмно реалізовано та досліджено при розв'язанні тестових задач. Результати обчислювального експерименту проілюстровано графічною та табличною інформаціями. Висновки: проведені експерименти підтвердили працездатність та ефективність розробленого метода і дозволяють рекомендувати його для використання на практиці при розв'язання задач математичного моделювання нелінійних процесів. Перспективи подальших досліджень можуть полягати у розробленні двобічних методів розв'язання задач для систем рівнянь з частинними похідними, рівнянь з частинними похідними вищих порядків та нестаціонарних багатовимірних задач, використовуючи напівдискретні методи (наприклад, метод прямих Роте).

Дисертаційна робота присвячена чисельному розв'язуванню плоских задач для еліптичниого рівняння другого порядку зі змінними коефіцієнтами. Розглянуто крайові задачі Діріхле та Неймана в обмеженій однозв'язній області, мішані крайові задачі та задачу Коші у двозв'язній обмеженій області. Для розв'язування крайових задач Діріхле та Неймана, використовуючи поняття параметрикса та непрямий підхід інтегральних рівнянь, диференціальні задачі редуковано до систем гранично-просторових інтегральних рівнянь (ГПІР). Досліджено коректність отриманих систем. Через заміну змінних на основі гомотетичного стиснення граничної кривої області розв'язку одержано параметризовану систему ГПІР, яку повністю дискретизовано методом Нистрьома. Для мішаних крайових задач, подібно до задач Діріхле та Неймана, розв'язки подано у вигляді суми параметрикс-потенціалів простого шару й об'ємного параметрикс-потенціалу з невідомими густинами. Розглянуто випадки двозв'язних областей, що обмежені гомотетичними та негомотетичними кривими. Для чисельного розв'язування некоректної задачі Коші застосовано непрямий метод інтегральних рівнянь з регуляризацією Тіхонова, а також два ітераційні методи (альтернуючий метод і метод Ландвебера). Розглянуто алгоритми ітераційних методів і досліджено збіжність альтернуючого методу. Для всіх методів виконано чисельні експерименти, результати яких підтверджують теоретичні дослідження.

Розглянуто однорідну задачу Діріхле для системи напівлінійних еліптичних рівнянь. Для побудови двобічних наближень до додатного розв'язку цієї системи використано перехід до еквівалентної системи нелінійних інтегральних рівнянь (за допомогою квазіфункції Гріна - Рвачова) з подальшим її аналізом методами теорії напівупорядкованих просторів. Роботу та ефективність розробленого метода продемонстровано обчислювальним експериментом для тестової системи з експоненціальною нелінійністю.

Для числового розв'язування крайових задач для нескінченних систем зі згортковою структурою, які складаються з еліптичних рівнянь другого порядку, запропоновано метод граничних елементів. Розв'язок надано за допомогою послідовності потенціалів простого шару. Для апроксимації невідомих густин потенціалів використано базис, який складається з кусково-сталих базисних функцій, побудованих на трикутних граничних елементах. Досліджено апріорні похибки. Наведено результати серії обчислювальних експериментів.

Для загального випадку квазілінійних еліптичних рівнянь дивергентного виду доведено ітераційну лему. Як і у випадку оператора p-Лапласа, для якого подібна лема була вперше встановлена Kilpelainen і Maly, отриманий результат слугує основним інструментом для подальшого дослідження квазілінійних еліптичних рівнянь такого типу. За допомогою цієї леми доведено нерівність типу Гарнака для рівнянь, що розглядаються, в термінах нелінійних потенціалів Вольфа.

Досліджено крайові задачі Діріхле, Неймана та Робіна для нескінченних трикутних систем еліптичних рівнянь і розроблено ефективні чисельні методи для знаходження їх наближеного розв'язку. Для кожної задачі доведено існування та єдиність узагальненого розв'язку. За допомогою інтегрального подання розв'язків задачі зведено до еквівалентних послідовностей граничних інтегральних рівнянь, однозначно розв'язних у відповідних просторах Соболева. Для знаходження наближеного розв'язку розроблено метод граничних елементів, а також його модифікацію для задач у спеціальних областях з довільними включеннями. Доведено існування й єдиність наближеного розв'язку, а також його збіжність до точного розв'язку. Проведені чисельні експерименти підтверджують теоретичні оцінки похибок, стійкість та ефективність запропонованих методів.

Розглянуто задачу мінімізації квадратичного критерію якості на розв'язках еліптичного рівняння з розподіленим керуванням у правій частині, які задовольняють нелокальні крайові умови на границі області. Доведено класичну розв'язність поставленої задачі. Запропоновано й обгрунтовано наближену формулу оптимального керування у термінах коефіцієнтів Фур'є параметрів задачі.

У тривимірних обмежених областях з ліпшицевою межею розглянуто зовнішні граничні задачі для нескінченних систем еліптичних рівнянь спеціального трикутного вигляду зі змінними коефіцієнтами. Сформульовано варіаційні постановки задач Діріхле, Неймана та Робіна та встановлено їх коректність у відповідних просторах Соболева. За допомогою введеного поняття q-згортки одержано аналоги першої та другої формул Гріна та побудовано інтегральні зображення розв'язків розглянутих задач у випадку сталих коефіцієнтів. Досліджено властивості інтегральних операторів та коректність одержаних систем граничних інтегральних рівнянь.

Запропоновано модифікацію методу Лі-алгебричних апроксимацій для розв'язування одновимірних крайових задач для еліптичних диференціальних рівнянь з неоднорідними крайовими умовами типу Діріхле. Розглянуто схему побудови відповідного скінченно-вимірного зображення диференціального оператора. Одержано систему лінійних алгебричних рівнянь для безпосереднього розв'язання крайової задачі з неоднорідними крайовими умовами. Проведено числові дослідження на прикладі модельних задач.

Розглянуто нелокальну задачу для рівняння еліптичного типу в прямокутній області. Побудовано прямокутну сітку і відповідну різницеву задачу. Оцінено похибку наближеного розв'язку нелокальної задачі.

Розглянуто нелокальну задачу з інтегральною умовою для еліптичного диференціального рівняння з необмеженим операторним коефіцієнтом в банаховому просторі. Побудовано та обгрунтовано експоненційно збіжний числовий метод для наближеного розв'язку в припущенні, що операторний коефіцієнт A - секторіальний та виконані умови існування та єдиності розв'язку. Цей алгоритм базується на зображенні операторних функцій за допомогою інтеграла Данфорда-Коші вздовж гіперболи, що охоплює спектр A та використанні відповідної квадратурної формули, що містить невелику кількість резольвент. Ефективність запропонованого алгоритму демонструється на числовому прикладі.

Розглянуто числове розв'язування крайових задач для нескінченних систем еліптичних рівнянь спеціального вигляду у тривимірних областях з ліпшицевою границею. Крайові задачі через відповідний аналог формули Гріна редуковано до систем граничних інтегральних рівнянь. Для числового розв'язування застосовано метод граничних елементів на базі методу Гальоркіна. Надано результати числових експериментів.

Розглянуто крайову задачу для системи еліптичних рівнянь спеціального виду в частково необмежених областях. Використання техніки функцій Гріна надає можливість одержати інтегральне подання розв'язку з невідомими функціями на поверхні обмеженої області. Розглянуто прямий і непрямий варіанти методу граничних інтегральних рівнянь.

Для числового розв'язування внутрішньої задачі Неймана для еліптичного рівняння зі змінними коефіцієнтами запропоновано підхід, який призводить до системи граничних інтегральних рівнянь з сингулярними та гіперсингулярними ядрами. Дискретизацію інтегральних рівнянь здійснено за допомогою методу квадратур із використанням тригонометричних квадратурних формул інтерполяційного типу. Наведено приклади числових експериментів.

Розглянуто наближене розв'язування граничної задачі Діріхле для еліптичного рівняння зі змінними коефіцієнтами в плоскій обмеженій однозв'язній області (пряма задача електричної імпедансної томографії). Задачу зведено до знаходження значень функції на системі гладких замкнених кривих, розміщених всередині області. Далі за допомогою функції Леві одержано систему коректних граничних інтегральних рівнянь з невідомими функціями на гладких кривих і з ядрами, які містять особливості різних типів. Числове розв'язування інтегральних рівнянь виконано за допомогою методу тригонометричних квадратур. Наведені результати числових експериментів підтверджують ефективність запропонованого методу.

На основі синтезу числових методів конформних відображень та сумарних зображень розроблено конструктивний підхід до моделювання ідеальних полів для криволінійних областей, обмежених лініями течії і еквіпотенціальними лініями, та обчислювальну технологію розв'язування відповідних крайових задач для еліптичних систем диференціальних рівнянь.

Досліджено метод побудови точних розв'язків еліптичних крайових задач для областей складної форми. В основі методу лежать оператори сплайн-інтерлінації функцій двох змінних на системі прямих інтерлінації, паралельних осям координат.

Запропоновано спосіб числового диференціювання розв'язку крайової задачі еліптичного типу за параметрами розміщення носіїв джерел фізичного поля. З точки зору практичного застосування, можливість одержання зазначених часткових похідних дозволяє використати методи умовної оптимізації першого порядку до задач оптимального синтезу систем з розподіленими параметрами. Викладену ідею диференціювання можна просто адаптувати і до інших крайових задач, які виникають у ході оптимізації технічних систем з дискретними джерелами фізичних полів.

Індекс рубрикатора НБУВ: В192.162.213

Рубрики:

Наближене розв'язання диференціальних рівнянь еліптичного типу

Шифр НБУВ: Ж23887 Пошук видання у каталогах НБУВ