Одержано систему алгебричних рівнянь, які визначають взаємозв'язок лінійних поперечних і кутових координат осьового контуру на вході в сусідні дзеркала резонатора лазерного гіроскопа (ЛГ). Одержано формули для розрахунку лінійного поперечного відхилення осьового контуру від номінальної осі резонатора ЛГ у відліковій площині, розташованій на заданій відстані від дзеркала, або плоскопаралельної пластини. Визначено співвідношення для розрахунку зміщень центра світлової плями гауссова пучка на вхідних і вихідних поверхнях плоскопаралельних пластин у резонаторі ЛГ, а також на поверхнях дзеркал резонатора. Одержано формули для розрахунку складових оптичних довжин плечей резонатора ЛГ на всіх ділянках прямолінійного поширення світла та співвідношення стосовно оптичних довжин плечей резонатора ЛГ. Запропоновано вирази для розрахунку оптичного периметра осьового контуру резонатора ЛГ. Відзначено, що з використанням результатів дослідження визначено вимоги щодо технологічних допусків на виготовлення моноблока ЛГ, обчислено геометричні масштабні множини і орієнтацію осі чутливості неідеально виконаного ЛГ, розроблено математичну модель зони синхронізації зустрічних хвиль ЛГ з рівнодобротним резонатором за умов точної настройки на центр лінії випромінювання та збалансованості струмів у плечах розряду. Модель враховує члени четвертого порядку малості за коефіцієнтами зв'язку і дає змогу обчислити координати на осі кутових швидкостей відповідно до лівої та правої меж зони синхронізації, координату її центра та напівширину.

Отримано нову математичну модель оболонкового резонатора довільної форми серединної поверхні з анізотропного матеріалу. Досліджено динамічні характеристики резонатора відповідно до анізотропних пружних властивостей матеріалу. Проаналізовано способи точного настроювання резонатора на параметричний робочий резонанс. Знайдено аналітичні залежності впливу на корисний сигнал приладу похибок виготовлення, збудження, монтажу та зовнішніх факторів: кутової та поступальної вібрації, удару, прискорень.

Перетворено до неоднорідного рівняння другого порядку зі змінними коефіцієнтами запропоновану М. Ю. Лесіною четверту форму рівнянь руху за інерцією двох гіроскопів Лагранжа. Проінтегровано неоднорідне рівняння другого порядку зі змінними коефіцієнтами за допомогою інваріантного співвідношення спеціальної структури. Одержано нову форму рівнянь руху за інерцією двох гіроскопів Лагранжа у вигляді рівняння Абеля другого роду, для якої виділено інтегровні випадки. Знайдено 11 нових точних розв'язків на підставі нових форм рівнянь руху. Вперше одержано для кожного з тіл системи рівняння годографів у опорному базисі, для введення якого використано траєкторію шарніра.