Досліджено дисипативну систему рівнянь Захарова у різних обмежених областях, запропонованої для опису колапсу ленгмюровських хвиль у плазмі. У випадку одновимірної області та періодичних граничних умов доведено існування глобального розв'язку та встановлено, що відповідна динамічна система є дисипативною та має компактний глобальний атрактор, а якщо зовнішні сили є аналітичними функціями, елементами глобального атрактора є аналітичні функції просторової змінної. У двовимірному випадку доведено існування та єдність глобального (за часом) розв'язку, у дисипативному - показано наявність інваріантної множини початкових умов, що породжують глобальний (за часом) розв'язок. Встановлено дисипативність та існування глобального атрактора відповідної динамічної системи. Побудовано регуляризацію системи рівнянь Захарова. Доведено збіжність атрактора регуляризованої системи до атрактора системи Захарова.

Індекс рубрикатора НБУВ: В213.305.2,022 + В312.2,022

Рубрики:

Коливання нелінійні. Системи механічні

Нелінійні коливання і хвилі

Шифр НБУВ: РА303522 Пошук видання у каталогах НБУВ 

мВстановлено клас математичних моделей автоколивних систем, у яких під час дії вимушуючої сили відсутні хаотичні коливання та синхронізація на субгармоніках зовнішнього періодичного сигналу. На основі розробленої математичної моделі досліджено механізми захоплення частоти, показано принципові відмінності між явищами синхронізації та гашення автоколивань, а також отримано кількісні результати щодо ефекту підтягування частоти автогенератора. Доведено можливість існування у математичних моделях дисипативних систем третього порядку континуума квазіперіодичних режимів, що відрізняються амплітудою та базисними частотами. Побудовано та досліджено математичну модель надрегенератора з внутрішньою суперизацією в автономному режимі. На основі даних моделей проаналізовано роботу надрегенеративного приймача з внутрішньою суперизацією.

Дисертація присвячена побудові та дослідженню стійких розв'зків нелінійних ланцюжків з кубічною нелінійністю. Детально розглянуто систему двох зв'язаних осциляторів Чуа. Дається ефективний алгоритм побудови різних типів розв'язків за їх скелетами. Запропоновану стійку на великому часовому проміжку різницеву схему з високим порядком точності для нелінійного хвильвого рівняння. Дається визначення координат солітонів для рівняння Кортевега де Фріза. Одержано закон притягання солітонів.

Увагу присвячено дослідженню розв'язку задачі Коші для рівняння Кортевега - де Фріза (КдФ) з початковими даними типу сходинки, що відповідають хвилі розрідження. Вивчено асимптотичну поведінку цього розв'язку за умови, що змінна часу є позитивною і прямує до нескінченності. Зауважено, що методом дослідження асимптотик є нелінійний метод найшвидшого спуску в застосуванні до векторних осциляційних задач Рімана - Гільберта (РГ). Він є ефективним у режимі, при якому обидві змінні, просторова та часова, прямують до нескінченності, але їхнє відношення змінюється слабо. Зазначено, що на відміну від спадних початкових даних, для яких немає відмінностей, яку саме задачу РГ застосовувати при дослідженні асимптотик (за правими даними розсіювання або за лівими), в задачах з початковими умовами типу сходинки вибір постановки задачі РГ має принципове значення. Тому в дисертації поставлено відповідні задачі РГ як за правими, так і за лівими даними розсіювання, і доведено існування та єдиність їхніх розв'язків. За допомогою зсувів контурів стрибка, що становлять так званий механізм лінз, і з використанням методу ｇ-функції, ці задачі зведено до еквівалентних задач РГ, де матриці стрибка мало відрізняються, за винятком малих околів точок екстремумів, від явно розв'язуваних задач РГ зі сталими матрицями стрибків (модельних задач) при великих значеннях часу. Знайдено точні розв'язки асоційованих матричних і векторних модельних задач та розв'язано додаткові задачі параметрикса, що пов'язані з поведінкою розв'язку в околах точок екстремуму. Проведено заключний асимптотичний аналіз, що математично строго обгрунтовує асимптотичне розвинення для хвилі розрідження при великих значеннях часу. Такий аналіз для задач із початковими умовами типу сходинки проведено вперше. Знайдено асимптотики хвилі розрідження для рівняння КдФ в трьох основних областях просторово-часової півплощини: у солітонній області, у середній області між переднім та заднім хвильовими фронтами, та в області позаду заднього хвильового фронту. Досліджено вплив резонансу на перший та другий члени асимптотичного розвинення на краю неперервного спектра. Побудовано регуляризовані інтеграли руху у випадку асимптотично періодичних початкових умов задачі Коші для рівняння КдФ. Для початкових умов, що є асимптотично сталими, знайдено зображення цих інтегралів через дані розсіювання відповідного оператора Шрьодінгера.