Дисертацію присвячено питанням вивчення газодинаміки бозе-квазічастинок в чистих монокристалах та в He II. На основі кінетичних рівнянь для бозе-квазічастинок з довільним законом дисперсії здобуто рівняння газодинаміки бозе-квазічастинок. Запропоновано метод, подібний до методу Енскога - Чепмена, розрахунку кінетичних коефіцієнтів, що грунтується на спеціально побудованих системах ортогональних поліномів. Здобуто формули вищої алгебраїчної точності типу Гауса для наближених обчислень інтегралів, що використовують побудовані системи ортогональних поліномів. Побудовано модель зведеного ізотропного кристала стосовно модулів пружності другого та третього порядків для кристалів усіх сингоній. Розраховано кінетичні коефіцієнти в фононній газодинаміці кристалічних діелектриків, магнонній газодинаміці ізотропних феродіелектриків та антиферомагнетиків типу "легка площина" з урахуванням порядку числових коефіцієнтів. Обчислено коефіцієнти згасання вторинних хвиль типу хвиль другого звуку в газодинаміці квазічастинок. У фононній газодинаміці, використовуючи здобуті значення кінетичних коефіцієнтів, для кристала NaF обчислено інтервал існування другого звуку, який співпадає з інтервалом його експериментального спостереження. Для He II розраховано першу та другу в'язкості, коефіцієнт згасання першого звуку з урахуванням непружності розсіяння фононів на ротонах в широкому діапазоні температур та тисків.

Розглянуто питаня щодо дробової статистики у низьковимірних системах. Обчислено точні кратності виродження станів трьох епіонів. З великою точністю для високих значень енергії числово знайдено спектр системи трьох еніонів у гармонічному потенціалі. Введено поняття еніонних траєкторій - неперервних залежностей енергетичних рівнів від кутового моменту. Числово знайдено третій і четвертий віріальні коефіцієнти еніонів. Побудовано кластерний і віріальний розклади для еніонів, що розрізняються. Знайдено мішані віріальні коефіцієнти третього порядку та сформульовано наближення двохчастинкових кореляцій, в якому віріальний розклад має дуже простий вигляд. Числово розв'язано задачі (1 + 2) і (2 + 1) тіл для системи частинок з магнітними домішками. Одержано вирази для віріальних коефіцієнтів еніонів скінченного розміру у двох межових випадках. Обчислено статистичний форм-фактор у конкретній польовій моделі. Розроблено теорію збурень дя еніонів: продемонстровано, як змусити цю теорію працювати для точкових еніонів та для еніонів скінченного розміру. Розглянуто тривимірну модель, в якій ефективно виникає дробова статистика. Побудовано квантово-механічну модель ексклюзійної статистики. Розроблено термодинаміку даної статистики. Одержано кластерний та віріальний розклади у загальному випадку та встановлено зв'язок цієї статистики з моделлю еніонів на найнижчому рівні Ландау.

Запропоновано квантовий мікроскопічний підхід для класифікації однорідних станів рівноваги конденсованих середовищ зі спонтанно порушеною симетрією. Встановлено механізм появи додаткових неперервних і дискретних термодинамічних параметрів, що характеризують такі стани. Наведено узагальнення даного підходу за умов завдання класифікації неодорідних станів рівноваги вироджених середовищ. З використанням цього підходу досліджено стан рівноваги та класифікації квантових рідин зі скалярним, векторним і тензорним параметрами порядку, зокрема, для надплинних фаз He-3, розчинів квантових рідин, надплинної системи з d-спарюванням. Досліджено стани рівноваги конденсованих середовищ і неперервно порушеною просторовою симетрією, для яких знайдено явний вид тензорного параметра порядку та визначено повний набір можливих однорідних і неоднорідних станів, вигляд генераторів просторової та непорушеної симетрії. Встановлено відповідність знайдених розв'язків для параметра порядку з реально існуючим упорядкуванням у рідких кристалах. Одержано ефективні рівняння для знаходження рівноважної структури параметра порядку, які не містять припущень про вид вільної енергії та не використовують вимогу близькості температури до точки фазового переходу.

Досліджено нетрадиційні вироджені стани в бозе- та фермі-системах. Побудовано мікроскопічну теорію просторово-періодичних станів бозе-конденсату в моделі слабконеідеального бозе-газу. Наведена теорія є узагальненням теорії Боголюбова у випадку, коли конденсат складається з частинок, імпульси яких утворюють деяку обернену гратку. Розглянуто термодинаміку просторово-періодичних станів бозе-конденсату. Визначено структуру спектра квазічастинок у просторово-періодичному конденсаті. Досліджено фазові переходи у фермі-рідині, пов'язані з порушенням критерію стійкості Померанчука нормального стану фермі-рідини. Визначено температуру фазового переходу та вираз для параметра порядку.

Досліджено релаксаційні процеси в анізотропних та ізотропних фононних системах надплинного гелію. Обчислено частоти трифононних процесів в даних системах. Розглянуто процеси народження високоенергетичних фононів пучком низькоенергетичних фононів у надплинному гелії. Розв'язано задачу про еволюцію короткого 1-фононного пучка, зумовлену народженням високоенергетичних фононів. Досліджено процеси розпаду одного фонона на три та показано, що вони швидко встановлюють рівновагу в області імпульсів, де процеси розпаду одного фонона на два заборонені. Розглянуто задачу про взаємодію пучків фононів у надплинному гелії. Знайдено коефіцієнт загасання в кожному з випадків. За результатами досліджень проаналізовано існуючі експериментальні дані та запропоновано нові експерименти.

Дисертацію присвячено побудові формалізму рівноважної статистичної фізики неупорядкованих конденсованих середовищ, що є, з геометричної точки зору, стохастичними фракталами. Статистична механіка флуктуацій фізичних полів даних структурах будується на основі гіббсівських розподілень імовірностей за аналогією з рівноважною статистичною механікою систем багатьох тіл. Фізичними прикладами середовищ, які мають необхідну для застосування формалізму, що розвивається, структуру, є конденсовані просторово однорідні у середньому макроскопічні системи, у яких просторове розподілення речовини сильно змінюється у великому діапазоні масштабів, що лежить між макроскопічними розмірами та типовими міжатомними відстанями. Такими є сильно пористі, дендритні, гомогенно змішані композитні матеріали. Проаналізовано принципові питання математичної фізики, які виникають у процесі імовірнісного опису такого роду структур.

Досліджено різні моделі нестандартних деформованих квантових осциляторів, вивчено їх властивості та розроблено деякі фізичні застосування. На основі критерію виконання в спектрі енергій рекурентного співвідношення типу Фібоначчі різні моделі деформованих осциляторів (ДО) розподілено на два класи: осцилятори Фібоначчі (р, q-осцилятор і його 5-параметричне узагальнення) та квазі-Фібоначчі (?-осцилятор Янусіса, поліноміально деформовані та інші ДО). Доведено, що деформовані осцилятори мають виродження енергетичних рівнів. Для р, q-аналога моделі Бозе-газу одержано віріальний розклад рівняння стану разом з першими п'ятьма віріальними коефіцієнтами, а також обчислено критичну температуру конденсації. В рамках ?-Бозе-газу обчислено інтерсепти дво- та тричастинкових імпульсних кореляційних функцій та їх асимптотики.

Проведено теоретичне дослідження електричної поляризації надплинних систем. Теорію Л. В. Келдиша електрон-діркового газу узагальнено на випадок можливої поляризації пар. Побудовано теорію надплинного розрідженого газу лужного металу. Одержано рівняння для двочастинкового параметра порядку Ф(r{\dn\fs6 1}, r{\dn\fs6 2}) для обох систем. Досліджено проблему спонтанної поляризації надплинних систем і показано, що спонтанна поляризація є пороговим явищем та має місце, якщо енергія взаємодії атомів перевищує відстань між основним і збудженим станами. Показано, що неоднорідність системи без будь-якого порогу породжує дипольний момент, пропорційний до градієнту густини. Розглянуто ефекти, зумовлені наявністю зовнішніх електричного та магнітного полів. Виконано мікроскопічний розрахунок поляризації квантованих вихрів за відсутності та за наявності магнітного поля. Встановлено, що в магнітному полі вихрі набувають квантованого електричного заряду. Запропоновано спосіб експериментального спостереження квантованих вихрів у надплинному гелії, що заснований на наявності цього заряду. Метод дозволяє визначати кількість вихрів та їх розташування в посудині.

Представлено результати досліджень близькокритичних явищ і фазових переходів у квантових газах за допомогою першопринципних і середньопольових теоретичних підходів. Досліджено термодинамічні характеристики ідеальних газів у режимі квантового виродження на всьому інтервалі температур, у тому числі де розкладання в рамках теорії збурень є непридатними. Виявлено ефекти фільтрації сигналів оптичного діапазону ультрахолодними бозе-газами атомів лужних металів, показано принципову можливість прискорення релятивістських частинок такими системами у стані бозе-конденсації. Узагальнено теоретичний підхід динамічної теорії середнього поля на випадки опису взаємодіючих фермі-газів із різними амплітудами тунелювання, густиною частинок, високими спіновими симетріями та за наявності обмінної взаємодії між частинками по типу зв'язку Гунда. Одержано фазові діаграми магнітних фаз і представлено ефективні спінові моделі у границях сильного зв'язку для ультрахолодних газів фермі-атомів в оптичних ґратках. Теоретично передбачено явище конденсації спін-триплетних екситонів у кристалах оксидів кобальту та пояснено гістерезисну поведінку таких сполук у зовнішньому сильному магнітному полі. Одержано та проаналізовано низькотемпературні фазові діаграми групи кристалів на основі оксидів кобальту з домішками елементів групи лантану, кальцію, стронцію та фтору. Досліджено дисперсійні характеристики екситонних збуджень у таких системах. Показано, що результати розвинутих теоретичних підходів добре узгоджуються із проведеними експериментами з резонансного непружного рентгенівського розсіяння. Одержані результати доповнюють і розширюють існуючі уявлення про квантові гази як у відсутності, так і за наявності зовнішніх полів, у тому числі таких, що утворюють просторово-періодичні ґраткові структури.

В рамках мікроскопічного модельного підходу розроблено теорію впливу таких зовнішніх факторів, як тиск, електричне поле, інтеркаляція (зміна хімічного потенціалу) та ін. на різноманітні ґраткові системи типу лад-безлад. Інтеркаляція нікелем кристалів селенідів галію й індію породжує в них електретну поляризацію. Запропоновано мікроскопічну модель типу лад-безлад, що враховує перерозподіл атомів інтеркалянта між неполярними октаедричними та полярними тетраедричними позиціями у ван-дер-ваальсових щілинах кристалів. Розраховані температурні залежності діелектричної сприйнятливості якісно відтворюють експериментальні результати для проникливості. Для інтеркальованого літієм анатазу, що використовується у літій-іонних батереях, характерно співіснування багатої та бідної на літій фаз та наявність двох можливих позицій для літію у кисневих октаедрах. Як показав проведений симетрійний аналіз, викликана інтеркаляцією деформація гратки може супроводжуватися впорядкуванням антисегнетоелектричного типу. Для опису даної сполуки запропоновано також мікроскопічну модель, яка поєднує риси моделей Міцуї та Блюма-Емері-Гріффітса та використовує результати симетрійного аналізу. В широкому температурному діапазоні виявлено фазове розшарування на порожню та напівзаповнену фази, що цілком відповідає співіснуванню фаз у інтеркальованому кристалі. Вплив інтеркаляції на електронну зонну структуру шаруватої наногібридної сполуки типу GaSe зі стадійним впорядкуванням вивчено у модифікованій версії періодичної моделі Андерсона. Інтеркальовані частинки формують додаткову зону у вигляді вузької домішкової зони або достатньо широкої, що гібридизується з основною. Найбільш виражена зміна основної зони відбувається поблизу домішкового рівня. Досліджено перехід у фазу з бозе-конденсатом у моделі Бозе-Хаббарда з двома локальними станами при перенесенні бозонів лише у збудженій зоні. Продемонстровано можливість фазового розшарування на нормальну фазу і фазу з бозе-конденсатом за фіксованої середньої концентрації бозонів. З метою врахування неергодичності одночастинкову спектральну густину отримано в наближенні хаотичних фаз за допомогою температурних бозонних функцій Гріна. Неергодичний внесок до функції розподілу частинок за імпульсом суттєво наростає і стає співмірним з ергодичною частиною в надплинній фазі біля трикритичної точки. Досліджено зонний спектр бозе-атомів у двовимірних гексагональних оптичних ґратках із структурою типу графену. У наближенні хаотичних фаз розраховано для нормальної фази закони дисперсії в зонах та одночастинкові спектральні густини. Для ґратки з енергетично еквівалентними вузлами отримано температурно залежний безщілинний спектр з точками Дірака на краю зони Бріллюена. Вивчено енергетичний спектр системи бозе-атомів у надплинній фазі в оптичних ґратках типу графену. Досліджено спектр колективних збуджень фононного типу в системі бозе-атомів у оптичній ґратці. Використано дворівневу модель, яка приймає до уваги переходи бозонів між основним і першим збудженим станом у потенціальних ямах, а також взаємодію між ними. Показано, що спектр збуджень складається у нормальній фазі з однієї зони екситонного типу, в той час як у фазі з бозе-конденсатом виникає додаткова зона. Вивчено можливість модуляції з подвоєнням періоду ґратки, а також однорідного зміщення частинок з рівноважних позицій. Ефекти, породжені зовнішнім тиском у кристалі SnPS, вивчено у рамках деформовної моделі Блюма-Емері-Гріффітса, яка відповідає локальному потенціалу з трьома мінімумами. Встановлено наявність аномалій в області сегнетоелектричних фазових переходів першого та другого роду, а також критичної точки; вивчено поведінку об'ємної стисливості для цих випадків. Для опису діелектричних властивостей сегнетової солі запропоновано чотирипідграткову модифікацію моделі Міцуї, яка враховує симетрійні особливості гратки та просторову орієнтацію ефективних диполів. Вивчено вплив поперечного електричного поля на поляризацію, зсув точок фазових переходів та аномалії діелектричної сприйнятливості.

Висвітлено основні засади теоретичного опису квантових систем багатьох частинок із двома різновидами статистик: Бозе-Ейнштейна та Фермі-Дірака. Наведено огляд сучасних методик теоретичних досліджень, як аналітичних, так і чисельних, а також експериментальних реалізацій дивовижних ефектів і явищ у квантових системах. Основну увагу приділено опису екзотичних станів речовин на прикладі газів частинок і квазічастинок у режимах квантового виродження. Уже понад століття наукові дослідження, технічні та навіть технологічні здобутки, на яких ґрунтується і загальний розвиток суспільства, спираються на закони квантового світу. Зокрема зазначимо, що сьогодні вважають усталеним і звичним твердження, що коли йдеться про окрему частинку (елементарну частинку, чи ядро, або атом чи молекулу) як про квантово-механічний об’єкт досліджень, більшість квантових процесів за наданих параметрів може бути змодельовано, розраховано й передбачено, принаймні, враховуючи сучасний рівень обчислювальної техніки й обчислювальних методів. Яскравими прикладами прояву квантових властивостей речовини на макрорівні є явища феромагнетизму, надплинності, надпровідності. Нагадаємо, що відправною датою в історії квантових газів, мабуть, можна вважати 1924-1925 роки, коли Альберт Ейнштейн, базуючись на праці індійського фізика Шатьєндраната Возе, теоретично показав можливість квантового колективнного ефекту - конденсації на найнижчому із можливих енергетичному рівні в газі невзаємодійних частинок. Трохи пізніше, а саме в 1926 році, було виведено іншу статистику для квантових газів - статистику Фермі-Дірака, яка описувала протилежний до наведеного вище випадок. Історично склалося так, що основні методики квантово-механічного опису рівноважних і нерівноважних станів, наприклад, газоподібних систем, довгий час не враховували можливої наявності внутрішньої структури у частинок, що входили до цієї системи.