Запропоновано основні прийоми розв'язування і доведення тригонометричних нерівностей. Розглянуто способи розв'язання нерівностей, що містять обернені тригонометричні функції. Зважаючи на те, що ці питання мало вивчені в шкільній програмі, теоретичні положення ілюструються великою кількістю детально розв'язаних одним чи декількома способами прикладів. Підібрані вправи для самостійного розв'язування з відповідями.

Розглянуто властивості тригонометричних функцій та їх тригонометричну інтерпретацію. Описано найпростіші тригонометричні рівняння, нерівності, тотожності, похідні тригонометричних функцій. Проаналізовано особливості оволодіння технікою тотожних перетворень на базі алгебричних законів, а також виконання співвідношень між тригонометричними функціями.

Рассмотрены свойства тригонометрических функций и их тригонометрическая интерпретация. Описаны простейшие тригонометрические уравнения, неравенства, равенства, производные тригонометрических функций. Проанализированы особенности овладения техникой преобразования равенств на базе алгебраических законов, а также выполнения соотношений между тригонометрическими функциями.

Наведено систематизований матеріал про тригонометричні функції, їх властивості та графіки. Особливу увагу приділено побудові графіків функцій і рівнянь, аналітичний вираз яких містить тригонометричні функції.

Приведен систематизированный материал о тригонометрических функциях, их свойствах и графиках. Особое внимание уделено построению графиков функций и уравнений, аналитическое выражение которых содержит тригонометрические функции.

Розв'язано одну із задач формування багатовидів комплексного простору - графоаналітичну інтерпретацію тригонометричних функцій комплексного аргументу на прикладі функцій синуса і косинуса. Показано доцільність графоаналітичного відображення таких функцій у чотиривимірному комплексному просторі з використанням частинних графіків комплексних функцій дійсної змінної, що реалізуються за допомогою тригонометричних функцій дійсного аргументу.

Запропоновано геометричні засоби подання основних тригонометричних функцій при комплексних значеннях амплітуди і аргументу проекціями гіперповерхонь чотиривимірного комплексного простору. Встановлено, що каркаси таких гіперповерхонь складають ортогонально розташовані частинні графічні залежності тригонометричних функцій синуса і косинуса дійсного аргументу і гіперболічних функцій дійсної змінної.

Описаны свойства тригонометрических функций, приведены основные формулы и примеры их использования. Представлены решения более сложных задач преобразования тригонометрических выражений с комбинированным использованием нескольких формул.

Розглянуто питання використання інноваційних засобів навчання у ході вивчення тригонометричних функцій у шкільному курсі.

За умов використання міжпредметних зв'язків на уроках математики учні глибше засвоюють тему "Тригонометричні функції", показують зв'язок математики з навколишнім світом, а також необхідність вивчення даної теми для подальшої професійної діяльності.

Індекс рубрикатора НБУВ: В161.14 + В181.121.1

Рубрики:

Елементарні функції і інші особливі функції

Гоніометрія (тригонометричні функції і рівняння)

Шифр НБУВ: Ж15477 Пошук видання у каталогах НБУВ 

Представлена модификация метода Прони применительно к задаче определения параметров синусоид, и на этой основе предложен соответствующий алгоритм оценивания параметров синусоид. Предлагаемый подход представляется менее трудоемким, так как не связан с процедурой интегрирования системы дифференциальных уравнений. На примерах продемонстрирована эффективность данного алгоритма.

Розглянуто основні типи та методи розв'язування тригонометричних рівнянь. Показано зведення тригонометричних рівнянь до найпростіших за допомогою тотожних перетворень. Наведено загальний метод раціоналізації тригонометричних рівнянь. Подано інформацію про ірраціональні тригонометричні рівняння. Розглянуто нестандартні тригонометричні рівняння та нерівності. Висвітлено дяякі властивості аркфункцій. Подано приклади розв'язування рівнянь з невідомим під знаками аркфункцій.

Введено у точкову геометрію поняття узагальнених тригонометричних функцій, які є інваріантом паралельного проекціювання. Розроблено теоретичні основи визначення неперервних-геометричних образів за допомогою узагальнених тригонометричних функцій.

Запропоновано методичний матеріал до вивчення теорії обернених тригонометричних функцій: арккосинусу, арктангенсу, деяких тотожностей, що пов'язують дані функції. Наведено приклади розв'язання завдань трьох рівнів складності, які зустрічаються під час випробувань (атестації, зовнішнього тестування).

Надано опис власних підпросторів косинус- та синус-операторів. Спектр кожного з цих двох операторів складається з двох власних значень 1, -1, а їх власні підпростори є нескінченновимірними. Є багато можливих базисів цих підпросторів, але найбільш популярними є ті, що побудовані з функцій Ерміта. Наведено інші "базиси", які є не дискретними ортогональними послідовностями векторів, а безперервними ортогональними ланцюжками векторів. Роботу можна вважати продовженням і подальшим розвитком результатів, які приведено Харді та Тітчмаршем у статті "Self-reciprocal functions" (Quart. J. Math. Oxford Ser. 1 (1930)).

Наведено три приклади використання узагальнених тригонометричних функцій для визначення плоских кривих.

Визначено математику як спосіб пізнання та засіб практичної діяльності, а також як науку, яка має аксіоми та строгі еталони мислення. Доведено необхідність вивчення математики усіма учнями незалежно від їх пріоритетів щодо майбутньої професії. За результатами міжнародних досліджень «Programme for International Student Assessment» наведено визначення поняття «математична грамотність». Показано, що вивчення тригонометричних функцій, зокрема обернених тригонометричних функцій, сприяє розвитку логічної культури учнів, повторенню та систематизації інших розділів математики, проведенню факультативних занять з «сильними учнями». Продемонстровано способи введення обернених функцій в навчальний процес та їх вивчення і роз’яснення. Вправи на вивчення тригонометричних функцій розподілено на три групи: елементарні, вправи, що забезпечують формування алгоритмів засвоєння та задачі творчого характеру. Подано приклади усіх типів задач та їх розв’язання.

Дано определение математики как способа познания и средства практической деятельности, а также как науки, имеющей аксиомы и строгие стандарты мышления. Доказана необходимость изучения математики всеми учащимися независимо от их приоритетов относительно будущей профессии. По результатам международных исследований «Programme for International Student Assessment» дано определения понятия «математическая грамотность». Показано, что изучение тригонометрических функций, в частности обратных тригонометрических функций, способствует развитию логической культуры учащихся, повторению и систематизации других разделов математики, проведению факультативных занятий с «сильными учениками». Продемонстрированы способы введение обратных функций в учебный процесс, их изучения и разъяснения. Упражнения на изучение тригонометрических функций разделены на три группы: элементарные, упражнения, обеспечивающие формирование алгоритмов усвоения и задачи творческого характера. Даны примеры всех типов задач и их решения.

Mathematics is defined as a way of learning and practice facility, as well as a science, which has its axioms and rigorous standards of thinking. Proved is the necessity of learning mathematics by all students, regardless of their priorities for the future profession. Given is the definition of the term "mathematical literacy" according to the results of international research «Programme for International Student Assessment». It was revealed that the study of trigonometric functions, especially inverse trigonometric functions, contributes to the development of logical culture of pupils to repeat and organize other areas of mathematics and for elective courses with a "strong pupils." Demonstrated is the introduction of inverse functions in the learning process and their study and clarification. Exercises on the study of trigonometric functions are divided into three groups: elementary, exercises, which ensure the development of algorithms learning and creative problem. Given are the examples of all types of problems and their solutions.

Показано прийом пошуку розв'язування геометричних задач на знаходження кута, який полягає у складанні тригонометричного рівняння за умовою задачі. Запропоновано задачі для самостійного розв'язання.

Досліджено особливості викладання теми "Тригонометричні функції" у старшій школі. Виокремлено два основних етапи процесу вивчення тригонометричних функцій у ЗНЗ: початкове ознайомлення з тригонометричними функціями кутового аргументу в курсі геометрії (8 - 9 клас); систематизація і поглиблення знань про тригонометричні функції в курсі алгебри і початки аналізу (математики) (10 - 11 клас). Акцентовано увагу на методичних особливостях переходу від кутового аргументу до числового. Зазначено, що розумінню властивостей тригонометричних функцій сприяє чітка їх аргументація (доведення). Зроблено висновок, що вивчення тригонометричних функцій буде ефективнішим тоді, коли перед введенням тригонометричних функцій проведено достатню пропедевтичну роботу з числовим колом.

The features of the teaching about “Trigonometric functions” in high school. Two main stages of the process of studying the trigonometric functions in secondary schools: an introduction to the trigonometric functions of the angular argument in the course of geometry (class 8-9); systematize and deepen knowledge of trigonometric functions in algebra course and start the analysis (Mathematics) (grades 10-11). The attention is focused on the methodological features of the transition from the angular argument to a numeric argument. It’s noted that the understanding of the properties of trigonometric functions helps clear their argument (proof). It’s concluded that the study of trigonometric functions will be more effective when carried out prior to their introduction sufficient propaedeutic work with numerical range.