Висвітлено теорію геометричного моделювання кривих ліній, уперше розглянуто методику одержання формул, за якими обчислюються базисні функції В-сплайна, що дозволяє конструювати власні В-сплайни будь-якого порядку та на будь-якій множині вузлових точок. Розглянуто способи задання лінії та побудови кривої лінії. Наведено повний опис обчислювальних процедур, за допомогою яких конструюються складена крива Безьє, кубічний сплайн і складена крива на основі В-сплайнів.

Изложена теория геометрического моделирования кривых линий, впервые рассмотрена методика получения формул, по которым исчисляются базисные функции В-сплайна, позволяющая конструировать собственные В-сплайны любого порядка и на любом множестве узловых точек. Рассмотрены способы представления линии построения кривой линии. Дано полное описание процедур исчисления, с помощью которых конструируется сложная кривая Безье, кубический сплайн и сложная кривая на основе В-сплайнов.

Розроблено методи та способи геометричного моделювання кривих і поверхонь на базі наукових положень теорії функції комплексного змінного. Показано можливість використання функції комплексного змінного для задання конформних відображень. Розглянуто конформні відображення кривих, заданих різними способами на комплексній площині Z, з однієї ізотропної сітки в іншу. Розглянуто конформне відображення кола, еліпсу, равлика Паскаля з точками дотику до базового кола відображення, що знаходяться на дійсній осі та в довільному місці комплексної площини функціями Жуковського, на базі яких одержано поверхні обертання. Запропоновано спосіб утворення ізотропних кривих. Значну увагу приділено використанню функцій комплексного змінного для побудови приєднаних мінімальних поверхонь шляхом розширення вже відомих способів їх формування та на базі ізотропних кривих.

Розв'язано задачу геометричного моделювання відбивальних поверхонь з властивостями, аналогічними фокальним властивостям еліпсоїда обертання, яке передбачає складання та розв'язання диференціального рівняння спеціального виду, що дозволило визначити профіль відбивальної поверхні в її осьовому перерізі. Запропоновано методи складання звичайного диференціального рівняння, розв'язком якого має бути крива на площині, що узагальнює фокальні властивості еліпса, та складено алгоритм його розв'язання. Розроблено метод складання диференціального рівняння у частинах похідних, розв'язком якого має бути відбивальна поверхня квазіеліпсоїда з точковими фокусами, яка проходить через задану криву. Складено алгоритм розв'язання цього диференціального рівняння, розв'язком якого має бути відбивальна поверхня квазіеліпсоїда у просторі, а також алгоритм розв'язання диференціального рівняння у частинних похідних шляхом зведення його до системи звичайних диференціальних рівнянь, розв'язком якого має бути сім'я кривих у просторі, що визначають каркас відбивальної поверхні квазіеліпсоїда.

Розроблено новий напрямок стосовно методів геометричного моделювання та сканування в окремих точках скалярних полів (на прикладі стаціонарних) шляхом усереднення результатів суперпозиції поверхонь, носіями яких є адаптивні інваріантні шаблони. Певна універсальність запропонованого методу усереднення адаптивних інваріантних шаблонів дозволяє розв'язувати задачі на спільній методлологічній основі, а саме, задачі сканування стаціонарного скалярного поля в окремих точках, оптимізації кубатурних формул для трикутників стосовно їх використання у методі скінченних елементів для відновлення гармонічних функцій, сплайнової апроксимації одновимірних експериментальних залежностей. Традиційно ці задачі розв'язуються за різними методами. Алгоритми реалізації методу для двовимірних задач використано під час проведення експериментальних досліджень температурних полів теплонавантажених конструктивних елементів транспортних засобів. Одновимірний варіант методу застосовано у процесі вивчення закономірностей зміни pH опоряджувальних розчинів у текстильній промисловості.

Розв'язано задачу геометричного моделювання й унаочнено геометричну форму псевдосферичних поверхонь з використанням комп'ютерної графіки, які відповідають різновидам зв'язків диференціальних рівнянь синус-Гордона та Кортевега-де-Вріза. Розроблено спосіб опису й унаочнення псевдосферичних поверхонь параболічного, гіперболічного й еліптичного типів. Здійснено в автоматичному режимі чебишовську параметризацію різновидів псевдосфер за умови, що координатами будуть асимптотичні лінії поверхонь. Реалізовано спосіб визначення послідовності псевдосферичних поверхонь за допомогою перетворення Беклунда. Визначено аналітичні описи псевдосферичних поверхонь для деяких конкретних усамітнених хвиль (одно- та двохсолітонів). Складено програму побудови (залежно від зміни парамерів усамітненої хвилі) анімаційних кадрів псевдосферичної поверхні, що дозволило в динамічному режимі аналізувати результати взаємодії усамітнених хвиль. З використанням результатів дослідження розраховано систему подачі палива дизеля.

Розроблено спосіб утворення плоских ортогональних сіток, однією сім'єю яких є конгруентні криві або криві змінної форми. Запропоновано спосіб перетворення плоских ортогональних часток у поверхню, віднесену до ортогональних координатних ліній. Сформульовано твердження щодо перетворення плоскої ортогональної сітки, утвореної двома сім'ями ліній, з яких одна сім'я - прямі, друга - криві, у різьблену поверхню Монжа, частковим випадком якої є торс однакового нахилу твірних. Виведено у загальному вигляді параметричні рівняння ребра звороту торса однакового нахилу твірних, одержаного перетвореннями плоскої ортогональної сітки. Здійснено та досліджено інверсію розгорнутого гелікоїда та його ребра звороту, а саме: віднесеного до координатних ліній, однією сім'єю яких є прямолінійні твірні (лінії кривини), а другою - гвинтові лінії; віднесеного до координатних ліній, однією сім'єю яких є плоскі криві (лінії кривини), а другою - гвинтові лінії; віднесеного до координатних ліній, у якого обидві сім'ї координатних ліній є сім'ями ліній кривини. Розширено клас каналових поверхонь, віднесених до ліній кривини, інверсією циліндрів і поверхонь обертання. Поширено перетворення інверсією на клас каналових поверхонь, у яких циклічний каркас ліній кривини має спільну точку. Перетворенням інверсією одержано поверхні, віднесені до ізотремічних координат з сімей ліній кривини та здійснено конформне відображення кривих у цих координатах.

Розроблено способи геометричного моделювання лінійчастих і трубчастих поверхонь у системі супровідного тригранника Френе напрямної кривої за її заданими властивостями. Показано, що з застосуванням даного способу поверхня утворюється як сума двох переміщень твірної лінії: твірна рухається у системі супровідного тригранника за заданим законом, а сам тригранник рухається по напрямній кривій і закон його руху визначається через диференціальні характеристики кривої. З урахуванням умови віднесення трубчастих поверхонь до сітки з ліній кривини досліджено особливості конструювання та знайдено аналітичні залежності для різних видів напрямних кривих: укосу, циліндричної та лінії центрів кіл кривини гвинтової лінії. Теоретичні результати наукового дослідження використано у процесі проектування пристрою для виготовлення спіралей шнеків із прямолінійної металевої смуги.

Рассмотрены возможности моделирования гладких кривых и поверхностей по заданому дискретному каркасу точек с помощью сплайнов на основе полиномов третьей, четвертой и пятой степеней. Показаны возможности применения сплайнов на основе полиномов четвертой и пятой степеней. Рассмотрены также сплайны, в которых не используются производные в заданых точках. Разработаны математические модели, алгоритмы и программы расчетов комплекса задач геометрического моделирования для проектирования форм машин и агрегатов, работающих в движущейся среде, и разных динамических процессов.

Розглянуто моделювання мінімальних поверхонь на основі ізотропних кривих Без'є третього порядку. Побудовано уявні та дійсні мінімальні поверхні. Для розрахунку дійсних мінімальних поверхонь застосовуються апроксимація багаточленами Чебишева.

Розглянуто побудову фрактальних поверхонь на основі двох типів мозаїк Пенроуза з різноманітними розфарбуваннями та різною кількістю ітерацій. Розраховано фрактальні розмірності побудованих поверхонь та проаналізовано одержані результати. Побудовано фрактальні розподілення для цих поверхонь.

Продолжены начатые в [1-4] исследования построения огибающей поверхности с помощью разработанной многофункциональной интерактивной компьютерной системы (КС), работающей в режиме реальных вычислений. При разработке КС решаются такие сложные вычислительные задачи, как: численное интегрирование уравнений движения при произвольных начальных условиях и параметрах, построение фазовых сечений интегральных многообразий и их проекций, построение фазовых траекторий и огибающей поверхности, визуализация поведения, сохранение-загрузка больших массивов данных и т.д. Представленная программа служит универсальным инструментом для изучения ряда других динамических систем.

Розглянуто задачу побудови каналової поверхні, що має дугу обводу як напрямну та еліптичну твірну, у точковому численні Балюби - Найдиша.

Розглянуто задачу побудови каналової поверхні, що має криволінійну напрямну засобами точкового числення Балюби - Найдиша.

Розглянуто моделювання спряжених поверхонь по лінії зачеплення інструменту та деталі, стосовно ріжучого інструменту, що обробляє евольвентну поверхню та виключає інтерференцію.

Розглянуто геометричний алгоритм конструювання поверхні трьох напрямних ліній з наперед заданими плоскими перерізами. Для представлення способу та можливостей такого конструювання поверхонь наведено приклади.

Наведено результати розробки нового способу розрахунку фасонних поверхонь обертання, у яких середня кривина змінюється вздовж осі за наперед заданим законом, та за умови зміцнення цих поверхонь шляхом асимптотичного чи геодезичного намотування нитки. Проаналізовано спосіб визначення закону зміни середньої кривини вздовж осі залежно від опису фасонної поверхні обертання (пряма задача) та спосіб опису фасонної поверхні обертання залежно від середньої кривини вздовж осі (обернена задача). Наведено результати розв'язання диференціальних рівнянь для опису асимптотичних та геодезичних кривих на фасонній поверхні обертання. Запропоновано способи розв'язання диференціальних рівнянь асимптотичних кривих на конічно-гофрованій поверхні та на фасонній поверхні обертання за умови усунення екстремальних значень кривини меридіана за допомогою R-функцій, що дозволило описати нові різновиди пневматичних поверхонь обертання з керованими середніми кривинами. Розглянуто питання алгоритмічного наповнення програм геометричного моделювання умовно асимптотичного чи геодезичного намотування.

Розроблено способи апроксимації гвинтового коноїда та ізометричного йому катеноїда смугами розгортних поверхонь. Апроксимація здійснюється вздовж ліній, заданих у внутрішніх криволінійних координатах вихідної поверхні. Апроксимуюча поверхня знаходиться як обвідна однопараметричної множини площин, дотичних до вихідної поверхні вздовж заданої лінії. За лінії дотику брали різні криві, в тому числі і спеціальні: асимптотичну, геодезичну, лінію кривини. Одержано параметричні рівняння апроксимуючої поверхні, її ребра звороту та розгортки. Найкращою є апроксимація вздовж ліній кривини коноїда. Знайдено відсік апроксимуючої поверхні, обмежений лініями перетину зі співвісними циліндрами та суміжними відсіками. Побудовано плоску заготовку з лініями викрою для її згинання у потрібний відсік поверхні. Множиною таких однотипних відсіків здійснюється апроксимація гвинтового коноїда.

Вперше запропоновано загальний метод побудови поліноміальних базисних сплайнів степеня n дефекту 1 на нерівномірній сітці вузлів у вигляді явних формул представлення у кожному інтервалі між вузлами. Вперше досліджено загальний метод опису складних кривих у неявній формі за допомогою інтерлінації функцій, який дозволяє забезпечити потрібні властивості кривої, включаючи ізогеометричні, за рахунок вибору додаткових параметрів. Вперше досліджено загальний метод опису складних поверхонь у неявній формі за допомогою інтерфлетації функцій, який дозволяє забезпечити потрібні властивості поверхні, включаючи ізогеометричні, за рахунок вибору додаткових параметрів.

Побудовано та досліджено поліноміальні сплайни степеня n з нерівномірно розподіленими вузлами у формі явних аналітичних виразів на кожному інтервалі між вузлами сплайна. Розроблено та досліджено новий метод побудови рівнянь плоских кривих, які є межами плоских областей складної форми з використанням сплайн-інтерлінації. Розроблено та досліджено новий метод побудови рівнянь поверхонь, які описують межі тривимірних тіл складної форми з використанням сплайн-інтерфлетації функції. Побудовано та досліджено математичні моделі плоских ліній у параметричній формі з використанням сплайн-інтерлінації функцій двох змінних і побудованих B-сплайнів на нерівномірній сітці вузлів. Проведено обчислювальний експеримент на основі розробленого пакету прикладних програм для тестування запропонованих методів та алгоритмів з метою запровадження розробленого пакету прикладних програм у практику проектування та моделювання поверхні пера лопатки авіадвигунів.

Запропоновано спосіб оцінки точності нанесення моделі сітки Чебишева за рахунок знаходження відстаней від вузлів сітки до точок основ перпендикулярів апроксимуючої поверхні.