Досліджено задачі з вільною межею, що виникають у багатьох сферах природничих наук і мають варіаційну природу. Це дозволяє на єдиній методологічній основі досліджувати широкий клас нелінійних межових проблем, а саме: задачі типу Бернуллі за плоского та вісесиметричного випадків; двовимірні задачі типу Стефана за стаціонарного та квазістаціонарного режимів. За допомогою розробленого математичного апарату встановлено властивості гладкості розв'язку межових задач і доведено аналітичність вільних меж. Обгрунтовано застосування методу Рітца для побудови наближених розв'язків, що збігаються до точних розв'язків, в різноманітних метриках. Досліджено просторову стаціонарну та нестацінарну задачі теплопровідності з урахуванням конвективного руху в рідинній фазі. Запропоновано метод вивчення цієї задачі, що полягає у розкладанні розв'язку в ряд за степенями малого параметра числа Рейнольдса. Одержано рівняння вільної поверхні залежно від числа Рейнольдса Re.

Розглянуто проблеми побудови нелінійних нелокальних математичних моделей середовищ з внутрішніми змінними та можливості їх застосування до вивчення нелінійних хвильових процесів. Увагу приділено дослідженню впливу просторової та часової нелокальностей на поширення акустичних хвиль і еволюцію нелінійних хвиль. Запропоновано нові феноменологічні визначальні співвідношення, з використанням яких побудовано динамічні рівняння стану середовищ з просторовою та часовою нелокальностями поблизу локальної рівноваги. Визначено закономірності поширення нелінійних хвильових полів в рамках математичних моделей середовищ з коливними включеннями.

Рассмотрены проблемы построения нелинейных нелокальных математических моделей сред с внутренними переменными и возможности их применения к изучению нелинейных волновых процессов. Уделено внимание исследованию влияния пространственной и временной нелокальностей на распространение акустических волн и эволюцию нелинейных волн. Предложены новые феноменологические определяющие соотношения, с использованием которых построены динамические уравнения состояния сред с пространственной и временной нелокальностями поблизости локального равновесия. Определены закономерности распространения нелинейных волновых полей в рамках математических моделей сред с колебательными включениями.

Сформулирована и обоснована новая нелинейная парадигма. Освещены нелинейныя явления и процессы в системе Земля - атмосфера - ионосфера - магнитосфера. Описаны методы анализа нелинейных процессов на основе линейных и нелинейных интегральных преобразований. Исследованы радиофизические эффекты, возникающие при распространении нелинейных волн плотности в околоземном космическом пространстве.

Разработаны методы исследования нелинейных математических моделей. Исследована корректность соответствующих математических моделей и их численная реализация. Разработаны методы решения соответствующих дискретных задач, доказано существование приближенных решений и их сходимость. Усовершенствованы методы численного анализа, изучена проблема оптимального управления свободной границей. Рассмотрены математические модели, которые естественным образом возникают при исследовании процессов в спецметаллургии (задачи типа Стефана) или в гидродинамических сооружениях (задачи типа Бернулли).

Розглянуто нелінійні властивості моделей розімкненого гіперциклу Ейгена. Цей клас моделей використовується для опису екологічних сукцесій. Проаналізовано фазові портрети та параметричні області цього класу моделей, зокрема питання стійкості стаціонарних точок, наявності коливних режимів, біфуркацій. Встановлено тип і стійкість простих і складних стаціонарних точок класу двовимірних моделей. Доведено теореми про відсутність граничних циклів у фазових портретах дво- і тривимірних моделей розімкненого гіперциклу Ейгена, досліджено загальний вигляд біфуркаційних діаграм для цих випадків. Виявлено основний каскад біфуркацій, що визначають еволюцію системи у \i n\i0-вимірному випадку. Кожна з цих біфуркацій інтерпретується як включення нової асоціації до екологічної системи. Виділено два типи самоорганізації у моделі розімкненого гіперциклу Ейгена: через зміну ключового параметра та через зміну кількості компонентів.

The nonlinear dynamics in generalized activator-inhibitor systems with space fractional derivatives is studied. As an example, the Brusselator model and the reaction-diffusion model with cubic nonlinearity, in which the classical spatial differential operators are replaced by their fractional analogues, are considered. The fractional operator reflects the nonlocal behavior of superdiffusion. The spatially homogeneous, time independent solution has been found for each system. We have also studied its linear stability and determined instability conditions of both Hopf and Turing. It was established that the anomalous diffusion (superdiffusion) leads to the qualitative change of nonlinear dynamics in mentioned systems.

Навчальний посібник присвячений теорії та методології нелінійних процесів і моделей. Він охоплює такі методи аналізування: метод фазової площини, розв’язування нелінійних диференціальних рівнянь та їх систем, зокрема стохастичних, числові методи тощо.