Одержано критерій єдиності регулярного розв'язку задачі Дарбу - Проттера для багатовимірних гіперболічних рівнянь, що вироджуються.

Одержано критерій єдиності регулярного розв'язку задачі Дарбу - Проттера для багатовимірних гіперболічних рівнянь з оператором Чаплигіна, а також доведено теорему єдиності розв'язку спряженої до неї задачі.

Для багатовимірного гіперболічного рівняння з хвильовим оператором у головній частині показано, що спектральна задача Дарбу - Проттера має зчисленну множину власних функцій, а спряжена до неї - вольтеррова задача.

Показано неєдиність розв'язку просторової задачі Геллерстедта для одного класу багатовимірних гіперболо-еліптичних рівнянь.

Знайдено власні значення та власні функції задач Геллерстедта для багатовимірного рівняння Лаврентьєва - Біцадзе.

Показано, що існує зліченна множина власних функцій спектральної задачі Трікомі для багатовимірних мішаних гіперболо-параболічних рівнянь.

Показано, що задачі Діріхле і Пуанкаре в циліндричній області для багатовимірного рівняння Геллерстедта однозначно розв'язні. Одержано критерій єдиності розв'язків цих задач.

Показано, що задана Діріхле в циліндричній області одного класу багатовимірних гіперболо-еліптичних рівнянь є однозначно розв'язною. Одержано критерій єдиності регулярного розв'язку.

Показано, что задача Пуанкаре в цилиндрической области одного класса многомерных гиперболических уравнений с волновым оператором разрешима. Получен также критерий единственности регулярного решения.

A criterion of the uniqueness of a regular solution of the Darboux - Protter problem for manydimensional hyperbolic equations is obtained, and the uniqueness theorem of a solution of the conjugate problem is proved.

Знайдено багатовимірну область, у якій однозначно розв'язні задачі Діріхле та Пуанкаре для хвильового рівняння.

Для модельного вырождающегося многомерного эллиптико-параболического уравнения показана однозначная разрешимость и получен явный вид классического решения задачи Дирихле в цилиндрической области.

Корректность краевых задач на плоскости для эллиптических уравнений с помощью метода теории аналитических функций комплексного переменного хорошо изучена. При исследовании аналогичных вопросов, когда число независимых переменных больше двух, возникают трудности принципиального характера. Весьма привлекательный и удобный метод сингулярных интегральных уравнений теряет свою силу из-за отсутствия сколько-нибудь полной теории многомерных сингулярных интегральных уравнений. Для общих эллиптико-параболических уравнений второго порядка постановку первой краевой задачи (или задачи Дирихле) впервые осуществил Г. Фикера. Дальнейшее изучение этой задачи приведено в монографиях В. Н. Врагова и О. А. Олейник, Е. В. Радкевича. Изучена смешанная задача для одного класса многомерных эллиптико-параболических уравнений в цилиндрической области. Показано, что однородная задача имеет бесчисленное множество нетривиальных решений, а неоднородная задача - разрешима неоднозначно.

Показано, що задачі Діріхле та Пуанкаре в циліндричній області для зароджуваних багатовимірних гіперболічних рівнянь з оператором Геллерстедта мають єдиний розв'язок. Встановлено критерій єдиності регулярних розв'язків цих задач.

Показано, що задача Діріхле в циліндричній області для вироджуваного багатовимірного рівняння мішаного типу однозначно розв'язна. Встановлено також критерій єдиності регулярного розв'язку.

Показано однозначну розв'язність і одержано явний вигляд класичного розв'язку мішаної задачі для багатовимірних гіперболічних рівнянь із хвильовим оператором.

Показано однозначну розв'язність класичного розв'язку задачі Діріхле в циліндричній області для тривимірних еліптичних рівнянь із виродженням типу і порядку.

Приведен новый класс вырождающихся трехмерных гиперболических уравнений, для для которых в цилиндрической области однозначно разрешимы задачи Дирихле и Пуанкаре.

Построены примеры, которые показывают, что однородная задача Трикоми для многомерного гиперболо-параболического уравнения имеет бесчисленное множество решений.

Колебания упругих мембран в трехмерном пространстве описывается вырождающимся многомерными гиперболическими уравнениями. При изучении приложений возникает необходимость получения явного представления решений исследуемых задач. Показана однозначная разрешимость и получен явный вид классического решения смешанной задачи для вырождающихся многомерных гиперболических уравнений.