Рассмотрена смешанная задача для одного класса параболических уравнений с двойной нелинейностью и младшими членами, которые не вырождаются и показатели нелинейности которых являются функциями пространственных переменных, в обобщенных пространствах Лебега и Соболева. С помощью метода Галеркина получены условия существования слабого решения.

Досліджено питання про однозначну розв’язність мішаних задач для різних класів подвійно нелінійних параболічних та еліптично-параболічних рівнянь зі змінними показниками нелінійності. З використанням методу Гальоркіна, параболічної та еліптичної регуляризації встановлено умови існування узагальнених розв’язків мішаних задач для подвійно нелінійних еліптично-параболічних рівнянь з лінійною головною частиною загального вигляду, параболічних та еліптично-параболічних рівнянь з монотонною головною частиною, еліптично-параболічних рівнянь з немонотонною головною частиною. Досліджено умови існування узагальненого розв’язку мішаної задачі для систем рівнянь одне з яких є подвійно нелінійним параболічним рівнянням другого порядку, а друге - півлінійним параболічним рівнянням четвертого порядку. Одержано умови єдиності розв’язків розглядуваних задач. Доведено, що усі задачі мають показники нелінійності, які є функціями просторових змінних. Констатовано, що результати одержано в узагальнених просторах Лебега та Соболева.