Досліджена операція рекурсії, що індукується рівнянням чи системою рівнянь. Показана замкненість класів монотонних (неперервних) функцій відносно рекурсії, а також неперервність самої рекурсії.

Исследуется монотонность и непрерывность в индуктивных множествах. Введена топология Скотта, рассмотрены произведения и обобщенные произведения индуктивных множеств. Рассматриваются операции суперпозиции и рекурсии (рекурсия индуцирована решением уравнений с параметром). Установлена замкнутость классов монотонных и непрерывных функций относительно суперпозиции и рекурсии, а также монотонность и непрерывность самих операций суперпозиции и рекурсии.

Исследуется монотонность и непрерывность в индуктивных множествах. Введена топология Скотта, рассмотрены произведения и обобщенные произведения индуктивных множеств. Установлена замкнутость классов монотонных и непрерывных функций относительно суперпозиции, а также монотонность и непрерывность самой суперпозиции.

Розглянуто особливості композиційних моделей реляційних маніпуляційних структур, а також теоретико-множинних і спеціальних конструкцій. Описано семантику змістовного фрагмента SQL-подібних мов. Наведено типи композиційних моделей, зокрема, побудованих на базі реалізаційних алгебр Кодда табличні алгебри, а також алгебри функцій, сигнатури яких складають стандартну суперпозицію, композиції фільтрації, повного образу та агрегування. Наведено моделі таблиць, розглянуто основні операції на рядках (розіменування, іменування, об'єднання) та таблицях (об'єднання, перетин, різниця, операції внутрішнього та зовнішнього з'єднання). Розкрито суть композиційного підходу програмування для розгляду спеціальних алгебр. Описано семантику упорядкування таблиць, операторів оновлення, а також групування.

Розглянуто проект створення електронного підручника з тематики реляційних баз даних, основним матеріалом якого є табличні алгебри, побудовані на базі добре відомих реляційних алгебр Кодда, та композиційна семантика мови SQL.

Побудовано на абстрактному рівні програмні алгебри суперпозицій та рекурсій, які є моделями загальнозначних дескриптивних та декларативних структур програм. Досліджено на абстрактному та іменному рівнях абстракції програмні алгебри функцій, що зберігають денотати і є моделями маніпуляційних дій у базах даних. Відзначено, що абстрактному рівню відповідають примітивні програмні алгебри, іменному - програмні алгебри іменних функцій. Проведено математичне дослідження табличних алгебр, які уточнюють маніпуляції коддовського типу. З використанням одержаних результатів описано повну семантику підмов маніпулювання даними (DML мов) у SQL-подібних мовах.

Рассмотрены элементы теории мультимножеств. Дано формальное определение мультимножеству, его характеристической функции, а также операциям объединения и пересечения мультимножеств. Строится решетка мультимножеств. Приведены результаты о структуре семейства мультимножеств. Раскрыта библиография по мультимножествам. Рассмотрены применения мультимножеств в табличных базах данных. Даны формальные определения операциям проекции, селекции и декартового соединения.

Розглянуто обмеження кардинальності, які застосовують до типів зв'язків у моделі "сутність-зв'язок". Установлено точну природу min і max обмежень кардинальності для бінарних типів зв'язків і досліджено логічний зв'язок між їх значеннями. Min і max обмежень кардинальності уточнено за допомогою поняття повного образу.

Проведено огляд літератури з теорії та застосування мультимножин (сукупностей з повтореннями). По кожному із 26 джерел наведено основні результати.

Надано узагальнення класичного результату про еквівалентність реляційної алгебри Кодда та числення рядків (числення кортежів). Класичне числення рядків поповнено довільними предикатними та функціональними сигнатурами на універсальному домені. Доведено, що у цьому випадку числення рядків залишається не менш виразним, ніж таблична алгебра.

Досліджено загальні властивості теоретико-множинних конструкцій, які використовуються, зокрема, в теорії реляційних баз даних під час дослідження табличних алгебр, побудованих на базі класичних реляційних алгебр Кодда. Розглянуто повний образ множини відносно бінарного відношення та розповсюдження унарних (бінарних) часткових операцій на множини за допомогою повного образу, обмеження бінарного відношення (БВ) за множиною, проекцію БВ і відношення сумісності БВ.

Розглянуто метод моделювання ієрархічних структур даних у вигляді списків суміжності. Наведено приклади таких списків та їх типи. Розглянуто методи побудови навігаційних запитів до ієрархічних структур даних, в тому числі за допомогою загальних табличних виразів CTE у рекурсивній формі. Наведено приклади таких запитів. Задано формальну семантику рекурсивних загальних табличних виразів.

Уточнено поняття специфікації класу, розглянуто операцію об'єднання специфікацій класів. За допомогою операції накладання виконується формальне уточнення множинного успадкування.

Уточнено поняття моделі "сутність-зв'язок" (типи сутностей і зв'язків, зокрема сильні та слабкі; обмеження кардинальності бінарних і багатосторонніх типів зв'язків; типи сутностей супер- і підклас), виконані уточнення досліджено. Розкрито проблему відсутності єдиного загальноприйнятого стандарту моделі з відповідним формальним підгрунтям. Уточнено вимогу коректності побудови моделі за слабкими типами зв'язків (W-коректність) у термінах часткового порядку (або ациклічності відповідного графа).

Рассмотрен краткий обзор моделей и методов, предназначенных для обеспечения безопасности программных средств современных компьютерных систем на протяжении всего их жизненного цикла. Рассмотрены подходы к разработке технологий, обеспечивающих безопасность программных средств и возникающие при этом сложности. Охарактеризована общая схема, применяемая для построения системы защиты программных средств. Представлены основные типы систем защиты программных средств и выделены типы методов, используемых при их построении. Охарактеризованы модели и методы, применяемые в процессе верификации программных средств. Указаны некоторые возможные направления исследований, связанных с построением формальных моделей и методов верификации программных средств. Кратко рассмотрены методы обеспечения защиты баз данных.

Рассмотрены основные концепции, которые легли в основу В метода и Event-B. Описан процесс построения абстрактных машин и определения их характеристик с использованием структур B метода. Рассмотрены два направления B метода: классический и Event-B. Указаны подходы различных авторов к проблемам детализации и завершимости абстрактных моделей. Указано программное обеспечение, с помощью которого можно создавать абстрактные машины в нотации AMN (Abstract Machine Notation).

Охарактеризовано сучасний стан теорії нормалізації в реляційних базах даних. Розглянуто еволюцію класичних нормальних форм (НФ) (а саме: першої - третьої НФ, НФ Бойса - Кодда, четвертої НФ та проективно-з'єднувальної або п'ятої НФ) та історичні спроби їх покращання. Наведено різноманітні варіанти некласичних НФ, обговорено концепцію доменно-ключової НФ.

Исследовано современное состояние проблемы обеспечения эффективности функционирования систем управления базами данных (СУБД) с позиции моделей и методов, предназначенных для оптимизации запросов. На основании анализа особенностей процесса проектирования СУБД, основных моделей данных, основных понятий, используемых при оценке сложности алгоритмов, показано, что в этом контексте следует рассматривать именно связку "БД - СУБД". Охарактеризованы основные типы математических моделей, предназначенных для теоретического анализа эффективности функционирования связки "БД - СУБД" в терминах анализа сложности операций. Рассмотрена эволюция методов "оптимизации запросов" (являющихся, по своей сути, эвристическими методами).

Исследовано современное состояние проблемы обеспечения эффективности функционирования систем управления базами данных (СУБД) с позиции моделей и методов, предназначенных для оптимизации запросов. На основании анализа особенностей процесса проектирования СУБД, основных моделей данных, основных понятий, используемых при оценке сложности алгоритмов, показано, что в этом контексте следует рассматривать именно связку "БД - СУБД". Охарактеризованы основные два типа математических моделей, предназначенных для теоретического анализа эффективности функционирования связки "БД - СУБД" в терминах анализа сложности операций. Во-первых, это модели, конструируемые в терминах формальной теории, построенной на основе синтеза математической логики, теории моделей и прикладной теории алгоритмов. Во-вторых, это модели многомерных связок "БД - СУБД", конструируемые в терминах теории категорий (что, в частности, дает возможность эффективно использовать язык схем). Рассмотрена эволюция методов "оптимизации запросов" (являющихся, по своей сути, эвристическими методами) в контексте развития моделей связок "БД - СУБД".

Розглянуто обчислюваність на множинах і мультимножинах. Обчислюваність вводиться як нумераційна обчислюваність та апаратом для задання класу обчислюваних функцій виступають примітивні програмні алгебри (ППА). Побудовано системи породжувальних множинної та мультимножинної ППА.