Розроблено, обгрунтовано та досліджено паралельні декомпозиційні методи розв'язання диференціальних рівнянь в частинах похідних (ДРЧП) на геометричних графах. Висвітлено питання числового розв'язання ДРЧП на мультиструктурах, яке вирізняється орієнтацією на синтетичний підхід до розгляду диференціальних рівнянь на геометричних графах, акцентовано увагу на питаннях взаємозв'язку між топологією мультиструктур і властивостями їх числових розв'язків, а також питаннях архітектурно-орієнтованої онтимізації програм моделювання. У межах синтетичного підходу розроблено формальний метод апроксимації ДРЧП на геометричних графах у внутрішніх вузлах з регуляризацією умов трансмісії. Вдосконалено методи локалізації спектрів різницевих апроксимацій звичайних диференціальних операторів на геометричних графах. Теоретично й експериментально досліджено паралельні декомнозиційні методи для ДРЧП на геометричному графі з сегментацією рівнянь і з перекриттям області. Запропоновано спосіб архітектурно-орієнтованої онтимізації програм моделювання мережевих динамічних об'єктів з розподіленими параметрами, що дозволяє оптимальним чином одночасно визначати параметри числового методу та розподілити дані між процесорами.

Рассмотрены свойства различных спектров разностных сеток на геометрических графах. Выведены соотношения, характеризующие спектры при бесконечном уменьшении шага дискретизации. В ходе изучения поведения спектра при уменьшении шага дискретизации строится гипотеза о характере зависимости между наибольшими собственными числами матрицы Лапласа, шагом дискретизации и свойствами сети, эта гипотеза доказывается для случая графа-звезды. Результаты сравниваются с несколькими хорошо известными оценками для наибольшего собственного числа матрицы Лапласа произвольного графа, полученными Фидлером, Андерсоном и Морли, Ли и Чаном.

Представлено описание нового алгоритма эффективного решения специальных классов СЛАУ, которые возникают при численном решении стационарных и параболических задач на геометрических графах неявными методами. Предложенный алгоритм имеет ряд преимуществ перед уже существующими, одним из которых является простота его параллельной реализации. Рассмотрены вопросы вычислительной сложности и устойчивости предложенного алгоритма.

Рассмотрена проблема локализации спектров симметричных вещественных матриц на графах вторичной топологии. Такими матрицами, в частности, описаны конечно-разностные приближения некоторых дифференциальных операторов на геометрических графах (оператор Лапласа и т. п.). Для матриц рассматриваемого типа в работе выведено выражение характеристического многочлена через полиномы Чебышева, с помощью которого получена теорема о поведении спектров таких матриц при росте их размерности. В качестве одного из следствий этой теоремы приведены оптимальные оценки максимального собственного числа для различных спектров графа на основании знания максимальной степени вершины.