Досліджується порядок точності щодо похибки простих власних функцій дискретного аналогу для рівняння із змінними коефіцієнтами у випадку змішаних граничних умов на межі прямокутника.

Індекс рубрикатора НБУВ: В251.1-1

Рубрики:

Теорія пружності

Шифр НБУВ: Ж29114 Пошук видання у каталогах НБУВ 

Ключ. слова: система уравнений Ляме, простое собственное число, дискретный аналог
Індекс рубрикатора НБУВ: В192.162

Рубрики:

Наближене розв'язання диференціальних рівнянь

Шифр НБУВ: Ж29144 Пошук видання у каталогах НБУВ 

Ключ. слова: дифференциальное уравнение первого порядка, банахово пространство, логарифмически секторный оператор, конструктивное представление решения, точность приближенного решения
Індекс рубрикатора НБУВ: В162.13 + В192.164.1

Рубрики:

Лінійні оператори і лінійні операторні рівняння

Шифр НБУВ: Ж29144 Пошук видання у каталогах НБУВ 

Одержано і досліджено інтегральну оцінку похибки наближення операторної експоненти та доведено її непокращуваність відносно порядку, а також установлено гладкість початкового вектора в термінах порядку точності методу перетворення Келі для наближення операторних експоненти і косинуса.

Дисертацію присвячено дослідженню швидкості збіжності різницевих схем для змішаних граничних задач на власні значення (рівняння із змінними коєфіцієнтами в прямокутнику та система рівнянь лінійної теорії пружності в тривимірному брусі). Доведено збіжність дискретних розв'язків до відповідних їм диференціальних. Порядок точності різницевих аналогів при обчисленні власних значень з'ясовано за допомогою одержаних в дисертації головних доданків в розкладах за степенями кроку рівномірної сітки для похибок власних чисел обох задач. Показано, що певні умови опуклості для коефіцієнтів еліптичного оператора визначають характер наближення різницевих власних значень до відповідних їм точних. Паралельно із встановленням асимптотичної оцінки точності для рівняння із змінними коефіцієнтами вивчається питання про диференціальні властивості власних функцій та доведено достатню умову неперервності їх похідних потрібного порядку. Швидкість збіжності схем при обчисленні власних функцій обох задач характеризується оцінками в різних сіткових метриках при послаблених припущеннях щодо гладкості розв'язків. Одержані в дисертації результати теоретично обгрунтовують застосовність методів прискорення збіжності, дають можливість уточнити власні значення без побудови різницевих аналогів високих порядків точності та проілюстровані чисельними прикладами.

Індекс рубрикатора НБУВ: В192.13

Рубрики:

Метод кінцевих різниць. Метод сіток

Шифр НБУВ: Ж29144 Пошук видання у каталогах НБУВ 

Досліджено точність традиційної скінченно-різницевої схеми для початково-крайової задачі для рівняння теплопровідності з умовами Діріхле і Неймана на межі одиничного квадрата. Доведено апріорну оцінку з вагою для швидкості збіжності методу. З одержаної нерівності випливає, що точність схеми збільшується поблизу тих бічних граней просторово-часового паралелепіпеда, де задана крайова умова Діріхле.

Получены оценки с весом для точности метода сеток при решении начально-краевой задачи для одномерного параболического уравнения в случае смешанного краевого условия (условия Дирихле и Неймана). Показано, что в пространственно-временном прямоугольнике точность метода выше вблизи дна и боковой стороны, на которой задано краевое условие Дирихле.

Рассмотрена задача на собственные значения для оператора Лапласа с краевым условием Дирихле на границе двумерной области произвольной формы. С помощью конечно-разностной аппроксимации исходной задачи получена предельная оценка точности простого собственного числа. На основании асимптотической формулы доказана оценка снизу для простых собственных чисел.

Получена априорная оценка скорости сходимости сеточного решения к обобщенному решению двумерного уравнения Пуассона в случае смешанного краевого условия (краевые условия первого и третьего рода). Показано, что точность схемы выше вблизи тех сторон квадрата, на которых задано краевое условие Дирихле.

Получены улучшенные оценки точности сеточных решений первой краевой задачи для двумерного уравнения теплопроводности, учитывающие влияние краевого и начального условий. Показано, что точность схемы выше вблизи боковых граней и дна пространственно-временного параллелепипеда.

Получена оценка с весом точности разностной схемы повышенного порядка аппроксимации на девятиточечном шаблоне для первой краевой задачи для уравнения Пуассона в прямоугольнике на обобщенных решениях. В оценке учтено влияние краевого условия Дирихле и показано, что точность схемы, порядок которой по шагу равен четырем во внутренних узлах сеточного множества, повышается соответственно на полпорядка и на порядок вблизи сторон и углов прямоугольника.

Изучена конечно-разностная схема повышенного порядка аппроксимации на девятиточечном шаблоне для уравнения Пуассона в прямоугольнике с краевым условием Дирихле. Получены оценки точности приближенного решения, учитывающие влияние краевого условия. Показано, что точность схемы выше в приграничных узлах сеточного множества и повышение порядка аппроксимации не влияет на эффект от краевого условия.

Побудовано і досліджено сіткові методи розв'язування першої крайової задачі для диференціального рівняння з похідною Рімана - Ліувілля дробового порядку. За допомогою функції Гріна крайову задачу зведено до інтегрального рівняння Фредгольма, для дискретизації якого застосовано інтерполяційні поліноми Лагранжа. Доведено вагові оцінки точності сіткових задач, які враховують вплив крайової умови Діріхле. Отримані результати свідчать про те, що точність наближеного розв'язку є вищою у примежових вузлах сітки, ніж в її внутрішніх вузлах. Теоретичні результати проілюстровано числовим прикладом.

Рассмотрена краевая задача для абстрактного дифференциального уравнения 2-го порядка с операторным коэффициентом в гильбертовом пространстве. С помощью преобразования Кэли операторного коэффициента A и полиномов типа Майкснера от аргумента x решение задачи представлено в виде бесконечного ряда. В качестве приближенного решения взята конечная сумма N слагаемых этого ряда. Доказаны оценки (с весом) точности такой аппроксимации в зависимости не только от параметра дискретизации N, но и от расстояния от аргумента x до граничных точек отрезка. Предложенный алгоритм имеет суперэкспоненциальную скорость сходимости.

Увагу приділено диференціальним та інтегральним операціям векторного аналізу, зокрема криволінійним і поверхневим інтегралам 1-го та 2-го роду. Розглянуто інтегральні теореми векторного аналізу (Гріна, Гаусса - Остроградського, Стокса), а також деякі наслідки інтегральних теорем. Подано інформацію про спеціальні типи векторних полів і набла-символіку. Висвітлено особливості запису основних диференціальних операцій векторного аналізу в ортогональних криволінійних системах координат.

Рассмотрена краевая задача для абстрактного дифференциального уравнения 2-го порядка с операторным коэффициентом в гильбертовом пространстве. С помощью преобразования Кэли операторного коэффициента A и полиномов типа Майкснера от аргумента x решение задачи представлено в виде бесконечного ряда. В качестве приближенного решения взята конечная сумма N слагаемых этого ряда. Доказаны оценки (с весом) точности такой аппроксимации в зависимости не только от параметра дискретизации N, но и от расстояния от аргумента x до граничных точек отрезка. Предложенный алгоритм имеет суперэкспоненциальную скорость сходимости.

Досліджено першу крайову задачу для лінійних диференціальних рівнянь другого порядку з сильно позитивним операторним коефіцієнтом у банаховому просторі. Одержано зображення точних розв'язків відповідних крайових задач у вигляді рядів, для чого використано перетворення Келі операторного коефіцієнта, поліноми Майкснера від незалежної змінної та розклад у ряд Фур'є правої частини рівняння. За наближений метод узято N-ту частинну суму кожного ряду (N - параметри дискретизації). Одержано вагові апріорні оцінки точності методу, які враховують крайовий ефект. Ці оцінки свідчать про те, що залежно від гладкості вхідних даних метод має або степеневу, або експоненціальну швидкість збіжності.

Побудовано і досліджено наближені методи розв'язування задач математичної фізики та одержано вагові апріорні оцінки точності цих методів з урахуванням впливу крайових і початкових умов. Одержано вагові оцінки точності різницевих схем для двовимірного рівняння Пуассона та одно- і двовимірного рівняння теплопровідності в канонічних областях з різними типами крайових умов з урахуванням початково-крайового ефекту. Для звичайного диференціального рівняння 2-го порядку з дробовою похідною у випадку як сталих, так і змінних коефіцієнтів знайдено низку достатніх умов про належність розв'язку певним функціональним просторам та одержано вагові оцінки, які враховують вплив крайової умови Діріхле. Для наближеного розв'язування цієї задачі побудовано сіткові схеми та одержано вагові апріорні оцінки похибки в різних сіткових нормах з урахуванням крайового ефекту. Одержано вагові оцінки в різних нормах для точних і наближених розв'язків двовимірного рівняння Пуассона з дробовою похідною та задачі Гурса для диференціального рівняння з дробовою похідною і змінними коефіцієнтами. Одержано вагові інтегральні оцінки точності методу перетворення Келі для розв'язування абстрактної задачі Коші для диференціального рівняння 1-го порядку із самоспряженим додатно визначеним оператором у гільбертовому просторі та досліджено їх непокращуваність за порядком. Одержано низку вагових оцінок точності методу перетворення Келі для розв'язування диференціального рівняння 2-го порядку в гільбертовому і банаховому просторах з урахуванням впливу як крайової умови, так і гладкості вхідних даних.