Наведено теоретичні відомості про знакосталі ряди (ознаки порівняння, радикальна ознака Коші, ознаки Даламбера та Раабе, інтегральна ознака Коші - Маклорена). Висвітлено поняття абсолютної збіжності для знакозмінних рядів. Акцентовано увагу на знакопочережних рядах (ознака Лейбніца).

Приведены теоретические сведения о знакоустойчивых рядах (свойства сравнения, радикальные свойства Коши, свойства Даламбера и Раабе, интегральные свойства Коши-Маклорена). Освещено понятие абсолютного совпадения для знакосменных рядов. Акцентировано внимание на знакопочережных рядах (свойства Лейбница).

Висвітлено питання вищої математики, зокрема, математичного аналізу, лінійної алгебри та диференціальних рівнянь. Розкрито зміст понять множини, функції та її границі в нескінченно великій точці, похідних і диференціалів вищих порядків, комплексного числа та його тригонометричної форми, монотонної послідовності, матриці, координати. Наведено формулу Тейлора, основні розклади за формулою Маклорена з залишковим членом у формі Лагранжа.

Освещены вопросы высшей математики, в частности, математического анализа, линейной алгебры и дифференциальных уравнений. Раскрыто содержание понятий множества, функции и ее границы в бесконечно большой точке, производных и дифференциалов высших порядков, комплексного числа и его тригонометрической формы, монотонной последовательности, матрицы и координаты. Приведены формула Тейлора, основные разложения по формуле Маклорена с остаточным членом в форме Лагранжа.

Досліджено точність методів без насичення точності для дискретизації абстрактної задачі Коші. У випадку скінченної гладкості початкового вектора для рівнянь I та II порядків у гільбертовому просторі з самоспряженим додатно визначеним сталим оператором одержано нові інтегральні оцінки швидкості збіжності методу перетворення Келі і доведено їх майже (з точністю до логарифма) непокращуваність за порядком. Показано, що за аналітичного початкового вектора метод перетворення Келі є експоненціально збіжним, а оцінка його точності - непокращуваною за порядком. Побудовано паралельний алгоритм розв'язування задачі Коші для лінійного диференціального рівняння першого порядку зі змінним оператором зі сталою областю визначення. Знайдено апріорні оцінки точності методу, якщо оператор сильно позитивний у банаховім або самоспряжений додатно визначений у гільбертовому просторах. Досліджено стійкість розв'язків та виконано числову реалізацію алгоритму.

Розроблено наукові засади керування технологічними процесами гірничих робіт у зонах структурних змін гірського масиву на базі встановлення нових закономірностей і комплексного критерію оцінювання технологічності запасів у виїмковому полі з урахуванням геологічних і гірничотехнічних факторів. На підставі теоретичних підходів до дослідження впливу технологічних процесів гірничих робіт на напружено-деформований стан масиву порід у зонах зміни структурної будови одержано закономірності, що характеризують їх взаємозв'язок. Проаналізовано процес руху в'язкостатичної рідини під час тампонажу хаотичної тріщинуватості та встановлено залежності її поширення у гірському масиві. Досліджено вплив гідророзриву тріщинуватих порід на навантаження кріплення виробки й обгрунтовано контрольні параметри процесу тампонажу. Розроблено рекомендації та раціональні параметри технологічних схем керування масивом і водозаглушенням у зонах структурних змін покривних порід. Зроблено промислову апробацію результатів наукового дослідження на шахтах Донбасу, економічний ефект становить 150 тис. грн.

Досліджено точність наближених методів без насичення точності для дискретизації абстрактної задачі Коші. У випадку скінченної гладкості початкового вектора для рівнянь 1-го та 2-го порядків у гільбертовім просторі із самоспряженим додатно визначеним сталим оператором одержано нові інтегральні оцінки швидкості збіжності методу перетворення Келі та доведено їх майже (з точністю до логарифма) непокращуваність за порядком. Показано, що за умов аналітичного початкового вектора метод перетворення Келі є експоненціально збіжним, а оцінка його точності - непокращуваною за порядком. Побудовано паралельний алгоритм розв'язання задачі Коші для лінійного диференціального рівняння першого порядку зі змінним оператором із сталою областю визначення. Знайдено апріорні оцінки точності методу, якщо оператор сильно позитивний у банаховім або самоспряжений додатно визначений у гільбертовім просторах. Досліджено стійкість розв'язків і проведено числову реалізацію алгоритму.

Наведено природно-кліматичну та геолого-географічну характеристики Східного Донбасу (СД), визначено його адміністративно-територіальний устрій, мінеральні, земельні, водні та рекреаційні ресурси. Проаналізовано антропогенний вплив на навколишнє середовище (НС) СД, а також вугільної промисловості, металургійного, машинобудівного, хімічного комплексу та транспортної галузі на НС.

Розглянуто предмет, задачі та методи нарисної геометрії. Наведено інформацію про метод проекцій, властивості центрального та паралельного проеціювання, комплексний рисунок точки на дві площини проекцій, класифікацію прямих ліній, площин і поверхонь. Увагу приділено взаємному розташуванню геометричних фігур, способам перетворення ортогональних проекцій, перетворенням проекцій за допомогою послідовної заміни двох площин проекцій, циркульним і лекальним кривим, лінійчатим поверхням, побудові ліній перетину поверхонь, видам аксонометричних проекцій.

Наведено основні теоретичні відомості з математичного аналізу, лінійної алгебри, які вивчають студенти у процесі здобуття спеціальностей "Видавнича справа" та "Менеджмент". Розглянуто диференціальні рівняння першого порядку. Описано загальну теорію лінійних диференціальних рівнянь \i n\i0-го порядку. Подано математичні поняття й методи, які застосовуються в задачах програмування, оптимізації, економіки. Запропоновано варіанти індивідуальних прикладів і завдань.

The initial value problem for a second-order differential equation with a constant self-adjoint positive definite operator coefficient in a Hilbert space is considered. The accuracy estimates unimprovable in order for an approximate solution based on the Cayley transformation method are substantiated.

Одержано інтегральну оцінку точності методу перетворення Келі розв'язування абстрактної задачі Коші для диференціального рівняння 1-го порядку з необмеженим операторним коефіцієнтом у Гільбертовому просторі. Оцінка свідчить, що цей метод має степеневу швидкість збіжності, порядок якої автоматично залежить від гладкості початкового вектора, а отже, він є методом без насичення точності. Доведено також непокращуваність оцінки за порядком N (параметр дискретизації N характеризує кількість доданків частинної суми в апроксимації наближеного розв'язку).