Показано, что симметричные периодические движения (СПД) в задаче Эйлера с центром тяжести тела в главной плоскости инерции всегда допускают пару простых нулевых характеристических показателей (ХП), пару нулевых ХП с жордановой клеткой и два ХП противоположного знака. Установлено, что такие ХП в общем случае обеспечивают принадлежность СПД к двухпараметрическому семейству, а также - отсутствие дополнительного гладкого интеграла.

Отмечено, что задачи Л. Эйлера - ограниченная задача трех тел и задача о вращении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки - относятся к классу обратимых механических систем. Изложены вопросы теории обратимых механических систем, допускающих первые интегралы. Дано определение обратимой механической системы; введены основные понятия; выделена типичная ситуация для симметричных периодических движений; обсуждена проблема первых интегралов. Проанализирована обратимая консервативная механическая система с двумя степенями свободы и симметричным потенциалом, допускающая интеграл Якоби. В частном случае получены выводы для ограниченной задачи трех тел. Исследована задача о вращении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки. В задачах Л. Эйлера, в частности, продемонстрировано положение: параметрическое пространство задачи разбивается на множество полной меры, где дополнительный гладкий интеграл отсутствует, и на его дополнение (нулевой меры), где выполнены необходимые условия существования такого интеграла.