Розглянуто задачу динаміки бурових установок, на базі якої розв'язано задачу про поздовжній удар. Вивчено властивості функцій значень. Проведено обчислення напружень, що виникають у буровій колоні під час удару.

Теоретически и экспериментально разработано принципиально новое ловильное устройство, которое позволяет устранить сложную аварию по извлечению оборванного бура установки роторного типа при проходке скважины большого диаметра.

Із використанням рівняння згину вагомого стрижня досліджено задачу стійкості бурової колони роторного типу. Одержано рівняння для визначення критичної довжини у випадку розтягу - стиску. Виконано розрахунки критичної довжини залежно від натягу талевої системи для бурової установки "WIRTH".

Розглянуто поздовжні, поперечні та крутильні коливання стрижневих систем ступінчато-змінної жорсткості. Досліджено властивості власних функцій відповідних граничних задач. Доведено їх ортогональність із вагою. Одержано вираз для квадрата норми власних функцій. Розглянуто підходи до розв'язання задач на власні та вимушені коливання таких систем.

За допомогою геометричних міркувань і визначення поняття директрис і фокусів одержано канонічні рівняння ліній другого порядку - еліпс, гіпербола, парабола. Запропонований підхід дозволяє вивести всі основні властивості ліній. Загальний підхід значно спрощує викладання щодо ліній другого порядку та надає теорії загальний характер. Теорія дозволяє розглянути, крім очікуваних канонічних рівнянь ліній, частинні випадки, провести повну класифікацію що до ліній другого порядку.

У ході дослідження збіжності знакосталих рядів розглянуто питання оцінки решти ряду за допомогою заміни одного ряду іншим, відомим і більш простішим, який збігається швидше. Наведено приклади використання для такої заміни перетворення Кумера. Запропоновано розглянути відносно прості приклади приблизного обчислення суми ряду та можливості прискорення цього процесу, що не потребують особливих витрат лекційного часу.

Досліджено задачу поздовжніх коливань конструкцій несучих опор, в яких на верхньому кінці встановлено обладнання. Розв'язано задачу поздовжнього удару під час їх посадки на фундамент із заданою швидкістю та раптового прикладення ваги такої конструкції. Досліджено власні частоти коливань і загальні напруження такої механічної системи. Показано, за яких параметрів системи можна застосовувати наближені теорії розрахунку.

Рассмотрены приемы, позволяющие свести решение определенного класса линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами к уравнениям, решения которых известны, а также систем таких уравнений к системам с постоянными коэффициентами. Полученные условия таких преобразований, которые определяют взаимосвязь между коэффициентами, рассмотрены примеры. Описанная методика может быть использована в обучении математике студентов технического университета.