Із використанням комплексних потенціалів, конформних відображень, інтегралів типу Коші та методу найменших квадратів розв'язано двовимірні задачі термоелектро- та термомагнітопружності для півпростору з отворами та тріщинами як внутрішніми, так і такими, що перетинають плоску границю. Числові дослідження проведено для півплощини з круговим отвором або тріщиною, з крайовою тріщиною та круговим отвором або тріщиною. Виявлено ряд механічних закономірностей.

С использованием теории функций обобщенных комплексных переменных предложен метод решения плоских задач термоэлектроупругости для многосвязных анизотропных пластинок, и с помощью этого метода решены задачи для случаев конечной или бесконечной областей с отверстиями и трещинами. Метод обобщенных комплексных потенциалов распространен на многосвязную полуплоскость. Получены общие представления функций, даны решения конкретных задач с проведением численных исследований и анализом их результатов.

З використанням комплексних потенціалів, запропоновано розв'язок задачі термоелектропружності для скінченної анізотропної пластинки з отворами і тріщинами. Для кругового кільця і диска з тріщиною наведено результати числових досліджень напружень і КІНІН.

Уведено узагальнені комплексні потенціали плоскої задачі термоелектропружності, одержано вирази основних характеристик термоелектропружного стану, граничні умови для визначення комплексних потенціалів, загальний вигляд цих функцій у випадку багатозв'язної пластинки. З використанням цих потенціалів надано розв'язок однієї окремої задачі.

Із використанням узагальнених комплексних потенціалів, методів теорії аналітичних функцій і дискретного методу найменших квадратів для задоволення граничним умовам розв'язано задачу електропружності для п'єзоелектричної скінченної пластинки з отворами та тріщинами, що знаходиться під дією різниці електричного потенціалу. Числово досліджено та проаналізовано вплив дії різниці потенціалів на електропружний стан кільця та диска з тріщиною.

Введено комплексні потенціали двовимірної та плоскої задач термоелекропружності та термомагнітопружності, з їх використанням знайдено вирази основних характеристик термоелектропружного стану (ТЕПС) і термомагнітопружного стану (ТПС). Одержано межові умови для визначення комплексних потенціалів, загальні представлення цих функцій для тіла та півпростору з отворами та тріщинами. Показано ефективність використання комплексних потенціалів під час розв'язання задач і вірогідність одержуваних результатів. Розроблено числово-аналітичний метод визначення комплексних потенціалів задач термоелектропружності і термомагнітопружності для тіл з отворами і тріщинами, що використовує конформні відображення, розвинення функцій в ряди Лорана і за поліномами Фабера, метод найменших квадратів для задоволення межових умов. З використанням інтегралів типу Коші запропоновано підхід до розв'язання задач теплопровідності, термоелектропружності та термомагнітопружності для півпростору з внутрішніми отворами та тріщинами з точним задоволенням межових умов на плоскій межі та наближено на поверхнях отворів і тріщин. Розроблено методику, яка базується на наближеному задоволенні межових умов на всіх межах багаторозв'язного півпростору, що дозволяє розв'язувати задачі не лише для випадку внутрішніх отворів і тріщин, але і за умов, коли останні перетинають плоску межу. Розв'язано низку нових задач теплопровідності, термопружності та термомагнітопружності для тіла і півпростору (пластинки та півплощини) з отворами та тріщинами. Установлено нові механічні закономірності впливу теплофізичних властивостей матеріалів тіл,

З використанням методів комплексних потенціалів, конформних відображень та найменших квадратів розв'язано плоску задачу електромагнітопружності для пластинки з отворами та тріщинами. Представлено розв'язки задач та проведено числові дослідження для кільця та диска з тріщиною при дії внутрішніх зосереджених сил або електричних зарядів, а також за умов задання електричних потенціалів на контурах.

З використанням узагальнених комплексних потенціалів, їх представлень для області з еліптичними отворами та дискретного методу найменших квадратів для задоволення граничним умовам розв'язано задачу про узагальнений плоский електропружний стан п'єзоелектричної нескінченної пластинки з отворами і тріщинами, на контурах яких задані значення електричного потенціалу. Механічні навантаження відсутні; пластинка знаходиться під дією різниці потенціалів. Проведено числові дослідження з аналізом впливу дії різниці потенціалів на електропружний стан пластинки з двома отворами чи тріщинами.

Класичним підходом при дослідженні власних коливань дискретних коливальних механічних систем є розв'язання вікового рівняння для знаходження власних частот та системи алгебричних рівнянь для визначення амплітудних коефіцієнтів. Однак, аналітичне розв'язання вікового рівняння можливе тільки для обмеженого кола дискретних систем, особливо зі скінченним ступенем вільності. До такого класу відносяться регулярні ланцюгові коливальні системи, в яких однакові осцилятори з'єднані між собою послідовно. Регулярні системи розділяються на системи з жорстко закріпленими кінцями, з одним або обома вільними кінцями, що суттєво впливає на пошук власних частот і власних форм. В даній роботі показано, як маючи розв'язок для вікового рівняння регулярної системи з жорстко закріпленими кінцями, можна визначити власні частоти та власні форми регулярних систем з одним чи обома вільними кінцями.

Розглянуто двовимірну задачу електропружності для п'єзоелектричного півпростору з циліндричними порожнинами та плоскими тріщинами при дії віддаленого електричного поля. Вектор напруженості електричного поля на нескінченності перпендикулярний плоскій поверхні півпростору, що повністю покрита тонким електродом. Механічне навантаження відсутнє. Розв'язок задачі базується на використанні узагальнених комплексних потенціалів електропружності. Граничні умови на плоскій поверхні півпростору задовільнені аналітично за допомогою інтегралів типу Коші, на поверхнях отворів - чисельно з використанням методу найменших квадратів. Наведено результати числових досліджень для півпросторів з однією порожниною, двома плоскими тріщинами, з порожниною та двома тріщинами.