The one-dimensional spin-1/2 model, in which the alternation of the exchange interactions between neighboring spins is accompanied by the next-nearest neighbor (NNN) spin exchange (zig-zag spin ladder with the alternation) is studied. Thermodynamic characteristics of the considered quantum spin chain are obtained in the mean-field like approximation. Depending on the strength of the NNN interactions, the model manifests either the spin-gapped behavior of low-lying excitations at low magnetic fields, or the ferrimagnetic ordering in the ground state with gapless low-lying excitations. The system undergoes second order or first order quantum phase transitions, governed by the external magnetic field, NNN coupling strength, and the degree of the alternation. Hence, NNN spin - spin interactions in a dimerized quantum spin chain can produce a spontaneous magnetization. On the other hand, for quantum spin chains with a spontaneous magnetization, caused by NNN spin - spin couplings, the alternation of nearest-neighbor (NN) exchange interactions can be the reason for destroying of that magnetization and the onset of a spin gap for low-lying excitations. Alternating NN interactions produce a spin gap between two branches of low-energy excitations, and the NNN interactions yield asymmetry of dispersion laws of those excitations, with possible minima, corresponding to incommensurate structures in the spin chain.

The study of energy spectrum of necklace spin ladder modelling magnetic properties of a number of quasi-one-dimensional ferrimagnetics containing ions of transition metals, was carried out. It was shown that the excitations without decrease of total spin are separated from ground state by finite energy gap, and the excitations with decrease of total spin are gapless. Temperature dependence of magnetic susceptibility, agreed with known experimental data for quasi-one-dimensional Cu-Ni bimetallic ferrimagnets and analytical formula for Ising model of NL, was built on the base of exact energy spectra of small ladder clusters.

It is shown that for finite cyclic systems described by two band Hubbard Hamiltonian with strong electron repulsion the reduction to effective t - J model may give incorrect description of the ground state symmetry due to neglect of the correlated hopping terms.

Досліджено клас фрустрованих одновимірних періодичних спінових систем Гейзенберга, які утворені або трикутними елементарними комірками зі спіном 1/2, або складовими елементарними комірками з двох різних структурних одиниць: трикутників і невеликих лінійних сегментів, які сформовані непарним числом спінів 1/2. За допомогою теорії збурень і числових розрахунків, а також методу ренормалізаційної групи матриці густини, знайдено безщілинний характер точного енергетичного спектра збудження для цих систем. Продемонстровано їх нестійкість відносно до регулярних (пайєрлсовських) коливань взаємодій між структурними одиницями. Числово оцінено відповідні критичні показники щодо енергій основного стану. Для деяких фрустрованих систем виявлено квантовий фазовий перехід, який пов'язаний зі спіновою симетрією основного стану, обумовленого фрустрацією.