Розглянуто метод мінімізації похибки під час посереднього визначення лінійних відрізків за виміряними лініями та кутами приладом, що розташований не у створі визначуваного відрізка. Виведено формулу вибору оптимальних віддалей і кутів від приладу до кінців визначуваного відрізка залежно від величини шуканих лінійних відрізків і точності вимірюваних ліній і кутів. Із аналізу точності формул, точність шуканих відрізків є в 5 - 25 разів, залежно від точності вимірюваних кутів та величини шуканого відрізка, більшою, ніж точність вимірюваних віддалей, за якими визначають ці відрізки. Надано графіки, за допомогою яких, залежно від величин шуканих відрізків і точності вимірюваних віддалей і кутів, можна безпосередньо знайти точність шуканого відрізка. Запропонований спосіб можна використовувати для попереднього розрахунку точності визначень невеликих відрізків під час використання приладів для вимірювання лінійних і кутових величин заданої точності. Вимірювання невеликих відрізків з великою точністю вимагає спеціальних приладів чи приладдя. Наприклад, для визначення довжин дециметрових і метрових інтервалів нівелірних рейок, які використовують у II, III і IV класах нівелювання, необхідно мати контрольний метр або спеціальний компаратор. Використовуючи запропоновану методику, можна компарувати вищеназвані рейки, використовуючи електронні тахеометри. Цим способом можна також вимірювати фазову ділянку взірцевого базису, створювати еталонні базиси для кутових вимірювань, установлювати устаткування у проектне положення, спостерігати за деформаціями споруд та устаткування, а також для інших багаточисленних інженерних задач.

Purpose. Using known and fixed Earth potential, presented asthe biorthogonal expansion, to culculate the geoid surface, which describes the actual shape of the planet. The external gravitational field is generally described by the series of spherical functions. Since the geoid is determined with the help of such functions, a question arises converning the identity to define the shape, moreover its several points does not belong to the region of convergence. Methodology and results. We consider representation of potential by convergent series everywhere, which makes it possible to find the geoid without specifying the location of points on the surface, although the geoid heights calculation is carried out by various relations. According to the known function of the mass distribution of the Earth, represented by the second degree polynomial, internal and external potential of elliptical planet are defined and the equipotential surfaces are found. Calculated values via these formulas and their degree of coincidence was analyzed. Defined in two ways surfaces do not coincide with each other because the difference in the values of the radius-vector amouts up to ten meters. So, when applying biorthogonal expansions of higher orders in constructing equipotential surfaces based on information about the external gravitational field it is necessary to take into account characteristics of expansion. Originality. Method of determining the shape of the Earth using the biorthogonal expansions of mass distribution function is proposed. This representation is characterized by a convergence for considered series and gives the opportunity to build digital models of the geoid (volumetric or as an isolines map). Practical significance. The results of numerical experiments, described in the article, led to the conclusion about the possibility of determining the equipotential surfaces that adequately describe the physical surface of the planet not only of the second but higher orders using biorthogonal expansions only with additional investigations. Calculation of geoid heights with high accuracy opens the way to observe many regional and local geodynamic phenomena, such as the movement of tectonic plates, and high accuracy leveling using GPS technology can solve a number of geodetic problems.

Мета роботи - за параметрами (стоксовими постійними до другого порядку включно) зовнішнього гравітаційного поля Землі побудувати тривимірні функції розподілу мас надр Землі без умови про мінімальне її відхилення від відомої в геофізиці моделі густини та встановити внесок коефіцієнтів розкладу потенціалу в разі їх уточнення. Класичні методи побудови розподілу мас використовують тільки стоксові постійні нульового та другого порядків. У ітераційних способах визначення модельних розподілів за нульове наближення береться референцна модель густини, узгоджена зі стоксовими постійними до другого порядку включно. Далі враховують коефіцієнти розкладу потенціалу до визначеного порядку, але при цьому не досліджено їх внесок у функцію густини мас. Зроблено спробу отримання такої оцінки. Запропонований метод також є наближеним, але в ітераційному процесі використовується не лише функція густини, але також її похідні. Зведення степеневих моментів густини до контрольованих значень (величин, визначених на поверхні кулі) надає можливість аналізувати процес послідовних наближень. На відміну від моделі другого порядку, яка описує грубі глобальні неоднорідності, отримана функція розподілу надає детальнішу картину розміщення аномалій густини (відхилення тривимірної функції від усередненої по сфері - "ізоденс"). Аналіз карт на різних глибинах (2891 км ядро-мантія, 5150 км внутрішнє-зовнішнє ядро) надає змогу зробити попередні висновки про глобальний перерозподіл мас за рахунок обертової складової сили тяжіння по всьому радіусу: її розрідження вздовж осі обертання та скупчення у разі відхилення від неї. Це особливо проявляється для екваторіальних областей. Навпаки, в полярних частинах Землі спостерігається мінімум такого відхилення, що також має своє пояснення: величина сили обертання зменшується у разі відходу від екватора. Побудована за допомогою запропонованого методу функція розподілу мас повніше описує розподіл мас. На відміну від класичних результатів, отриманих з рівняння Адамса - Вільямса для похідних густини однієї змінної (глибини), одержано похідні за декартовими координатами. Використання в описаному методі параметрів гравітаційного поля до другого порядку включно збільшує порядок апроксимації функції розподілу мас трьох змінних із двох до чотирьох за рахунок можливості відновлення розподілу мас надр планети за її похідними. На відміну від попередніх досліджень, тут використовується геофізична інформація, акумульована в реферецній моделі PREM, а тому враховуються особливості внутрішньої структури.

Індекс рубрикатора НБУВ: Д212.1

Рубрики:

Гравітаційне поле Землі

Шифр НБУВ: Ж16489 Пошук видання у каталогах НБУВ 

Отримано вирази для сферичних функцій та їх похідних у прямокутній системі координат. На противагу запису багаточленів у сферичній системі координат, виведені рекурентні співвідношення надають змогу використовувати їх в описі фізичних процесів у декартовій системі координат, а виведені формули для похідних кульових функцій всередині кулі надають можливість застосовувати їх для отримання розв'язків у прямокутній системі координат задач математичної фізики для тіл кульової форми. В прикладних задачах такий підхід має свої переваги. Наприклад, для визначення руху штучних супутників їх орбіт) необхідно подати зовнішній потенціал притягання та його похідні для систем GPS у прямокутній системі координат. З іншого боку, астрометричні дослідження процесів у галактиках і внутрішньої будови Землі пов'язані з вивченням внутрішнього потенціалу, отже, виникає потреба його подання в прямокутній системі координат.

Отримано вирази для сферичних функцій та їх похідних у прямокутній системі координат. На противагу запису багаточленів у сферичній системі координат, виведені рекурентні співвідношення надають змогу використовувати їх в описі фізичних процесів у декартовій системі координат, а виведені формули для похідних кульових функцій всередині кулі надають можливість застосовувати їх для отримання розв'язків у прямокутній системі координат задач математичної фізики для тіл кульової форми. В прикладних задачах такий підхід має свої переваги. Наприклад, для визначення руху штучних супутників їх орбіт) необхідно подати зовнішній потенціал притягання та його похідні для систем GPS у прямокутній системі координат. З іншого боку, астрометричні дослідження процесів у галактиках і внутрішньої будови Землі пов'язані з вивченням внутрішнього потенціалу, отже, виникає потреба його подання в прямокутній системі координат.

Мета роботи - створити алгоритм побудови тривимірної функції розподілу мас планети та її похідних з урахуванням стоксових сталих (СС) довільних порядків; спираючись на цей алгоритм, виконати дослідження внутрішньої будови Землі. Похідні неоднорідного розподілу мас подають лінійними комбінаціями біортогональних багаточленів, коефіцієнти яких отримують із системи рівнянь. Ці рівняння отримують інтегральними перетвореннями СС, а процес обчислень здійснюється послідовним наближенням і за початкове наближення беруть одновимірну модель густини, узгоджену зі СС до другого порядку включно. Далі визначають коефіцієнти розкладу потенціалу до третього, четвертого і т. д. порядків, аж до наперед заданого порядку. Зведення степеневих моментів густини до поверхневих інтегралів надає можливість аналізувати та контролювати ітераційний процес. Результати обчислень отримано з використанням програмного продукту за описаним алгоритмом. Досягнуто достатньо високого степеня апроксимації (шостого порядку) тривимірних розподілів (ТВР) і створено картосхеми за врахованими значеннями відхилень ТВР від середнього ("ізоденси"), які надають доволі детальну картину внутрішньої будови Землі. Наведені карти "неоднорідностей" на характерних глибинах (2891 км ядро - мантія, 5150 км внутрішнє-зовнішнє ядро) надають підстави зробити попередні висновки про глобальні переміщення мас. Значущою для інтерпретації є інформація про похідні. Насамперед можна наголосити, що градієнт "неоднорідностей" спрямований до центра мас. Надано проєкції цього градієнта на площину, перпендикулярно до осі обертання (горизонтальної площини), відображають тенденцію просторових переміщень. Наукова новизна. Векторграми градієнта в сукупності з картосхемами надають ширше уявлення про динаміку ймовірного переміщення мас всередині планети та можливі механізми, що їх спричиняють. Певною мірою ці дослідження підтверджують явище гравітаційної конвекції мас. Запропонований алгоритм можна використовувати для побудови регіональних моделей планети, а числові результати - для інтерпретації глобальних і локальних геодинамічних процесів всередині та на поверхні Землі.

Встановлено формули для обчислення потенціалу тіл, поверхня яких є куля або еліпсоїд, а функція розподілу має спеціальний вигляд: кусково-неперервна одновимірна функція або тривимірний розподіл мас. Для кожного з цих випадків виведено формули для обчислення як зовнішнього, так і внутрішнього потенціалів. За їх допомогою надано вирази для обчислення потенціальної (гравітаційної) енергії мас таких тіл та їх відповідних розподілів. Для тіл кульової форми надано точні та наближені співвідношення визначення енергії, що надає можливість порівняння ітераційного процесу та можливість його застосування до еліпсоїда. Описану методику апробовано на конкретному числовому прикладі.

Надані в роботі формули дають можливість здійснювати виділення дійсної та уявної частини значення детермінанта комплексної величини n-го порядку, значно спростивши процес його розгортання. При цьому його модуль подається детермінантом 2n-го порядку, елементами якого є дійсна та уявна частина комплексних чисел. Це дає можливість аналітичного дослідження процесів, що описуються з використанням детермінантів з комплексними числами. Дійсна та уявні частини також визначаються сумою детермінантів вже з n рядками та стовпцями, елементи яких є складові комплексних елементів. Члени цієї суми є розв'язками системи рівнянь, які подаються в замкнутому вигляді за допомогою симетричних многочленів, аргументи яких є її коефіцієнти. Частина цієї комбінації виражається двома визначниками n-го порядку, елементи яких є сума і різниця дійсних та уявних частин елементів. Це суттєво зменшує кількість арифметичних дій при розгортанні комплексного визначника та виділення його дійсної і уявної частини. Наведений числовий приклад підтверджує доцільність такого підходу.

Розглянуто подання зовнішнього гравітаційного поля Землі, які доповнюють його традиційну апроксимацію рядами за кульовими функціями. Необхідність додаткових засобів опису зовнішнього потенціалу продиктована потребою його вивчення та використання в точках простору, що є близькими до поверхні Землі. Саме в таких областях виникає потреба дослідження збіжності рядів за кульовими функціями та адекватного визначення значення потенціалу. Представлення зовнішнього гравітаційного поля Землі інтегралами простого та подвійного прошарку з залученням апарату апроксимації кусково-неперервної функції в середині еліпса надає змогу розширити для рядів, що подають потенціал, область збіжності до всього простору поза еліпсом інтегрування. Тому, як результат, значення гравітаційного потенціалу збігається зі значеннями цих рядів поза тілом, що містить маси надр (крім еліпса інтегрування). Це надає можливість оцінювати поведінку гравітаційного поля в приповерхневих областях і виконувати з більшою достовірністю дослідження геодинамічних процесів. Апроксимація гравітаційного поля за допомогою поверхневих інтегралів окреслює також геофізичний аспект задачі. Адже під час її розв'язання здійснюється побудова двовимірних підінтегральних функцій, що однозначно визначаються набором стоксових сталих. При цьому коефіцієнти їх розкладів у ряди визначаються за лінійними комбінаціями степеневих моментів їх функцій. Отримані розклади функцій можуть бути використані для дослідження особливостей зовнішнього гравітаційного поля, наприклад, вивчення його асиметрії відносно екваторіальної площини.

Мета роботи - виконати дослідження формул для визначення плоских координат точки методом оберненої лінійно-кутової засічки (ОЛКЗ). У роботах [Vivat 2018, Novakovic 2009, Lienhart 2017, Erol 2010, Litynskyi 2014, Litynskyi 2015, Gargula 2009, Litynskyi 2019] досліджено можливість використання електронних тахеометрів для контролю геометричних параметрів промислових будівель. Розглянуто методи контролю електронних тахеометрів і лазерних сканерів на відповідність міжнародним стандартам метрологічних параметрів ISO. Досліджено прикладне застосування електронних тахеометрів для високоточних вимірювань та оптимізацію геодезичних мереж, які створюють для вимірювань витягнутих споруд. Аналітично доведено та виведено формулу для оптимального розміщення приладу з певними характеристиками точності відносно вимірюваного базиса, виконано вимірювання на базисі II розряду та підтверджено теоретичні розрахунки. Показано можливість досягнення вищої точності визначення відрізка методом лінійно-кутових вимірювань. Досліджено вплив величини кута на точність визначення координат за теоремою синусів і досліджено можливість оптимізації визначення координат методом ОЛКЗ за формули косинусів і синусів. Методика. Встановлення математичного зв'язку вимірюваних величин (віддалей і кутів) із шуканими (плоскими координатами точки), диференціюванням і знаходженням мінімумів функцій. Наведено 5 формул, з яких створено 6 комбінацій для обчислення приростів координат та оцінки їхньої точності. Числові експерименти показують, що значної переваги жоден із методів не має, що підтверджується результатами, наданими на графіках і таблицях. Варто виокремити одну особливість другого методу, за яким є можливість визначити прирости координат із точністю, що перевищує точність вимірювання довжин сторін. Розглянуто можливість оптимізації визначення приростів координат за рахунок вірогідного вибору формул обчислень. Досліджено можливість підвищення точності визначення приростів координат, використовуючи різні формули обчислень. Запропоновано оптимізацію вибору формул обчислень залежно від положення шуканої точки. Результати досліджень можна використати у створенні прикладного програмного забезпечення електронного тахеометра чи лазерного трекера для підвищення точності визначення координат.