Доведено, що далекий порядок існує у гратковій системі лінійних осциляторів з феромагнітною потенціальною енергією, яка містить доданок з сильним парним квадратичним потенціалом взаємодії близьких сусідів (б - с). Під час доведення використано контурну нерівність та узагальнений аргумент Пайєрлса.

Установлено збіжність кластерних розкладів для кореляційних функцій загальних граткових гіббсівських систем осциляторного типу та споріднених нерівноважних систем броунівських осциляторів у термодинамічній границі. Початкові стани для останніх є гіббсівськими. Доведено, що послідовність побудованих функцій нерівноважної системи є узагальненим розв'язком дифузійної ієрархії типу ББГКІ.

Доведено існування феромагнітного далекого порядку для гіббсівської класичної граткової системи лінійних осциляторів, що взаємодіють завдяки сильному парному поліноміальному феромагнітному потенціалу близьких сусідів та іншим (непарним) потенціалам, які є слабкими, якщо не є феромагнітними. У цьому випадку використано узагальнений аргумент Пайєрлса та дві контурні нерівності.

Для рівноважних квантових граткових систем лінійних осциляторів, потенціальна енергія яких містить сильну феромагнітну частину парної взаємодії близьких сусідів і слабку неферомагнітну частину, доведено існування феромагнітного далекого порядку за певної умови на нерівність суперстійкості. Показано, що далекий порядок може мати місце, якщо маса квантового осцилятора та сила феромагнітної взаємодії близьких сусідів перевищують певні значення. При цьому використано узагальнений принцип Пайєрлса та контурну нерівність, доведену за допомогою нової нерівності суперстійкості для кореляційних функцій.

Для рівноважних квантових та класичних систем частинок, що взаємодіють завдяки тернарному і парному (непозитивним) далекосяжним потенціалам, побудовано кластерний розклад для їх редукованих матриць щільності та кореляційних функцій великого канонічного ансамблю, збіжний при низьких активностях у термодинамічній границі.

An unbounded order parameter (magnetization) is established to exist for a wide class of lattice Gibbs (equilibrium) systems of linear oscillators interacting via a strong pair near neighbor polynomial potential and other many-body potentials. The considered systems are characterized by a general polynomial short-range interaction potential energy generating Gibbs averages that satisfy two generalized GKS inequalities.

Розглянуто граткове рівняння Кірквуда - Зальцбурга (КС) осциляторного типу з загальним фазовим одночастинковим вимірним простором та багаточастинковими потенціалами взаємодії. У разі певного вибору цього вимірного простору розв'язки КС рівняння описують кореляційні функції великого канонічного ансамблю граткових рівноважних класичних та квантових систем осциляторів. Доведено існування розв'язку симетризованого КС рівняння для багаточастинкових потенціалів взаємодії, які або притягувальні (недодатні) та мають скінченну дію, або відштовхувальні (додатні) та мають нескінченну дію. Розглядувана симетризація нова і грунтується на умові суперстійкості для багаточастинкових потенціалів.

Запропоновано нове коротке доведення збіжності високотемпературних полімерних розкладів термодинамічної межі канонічних кореляційних функцій граткових класичних та квантових гіббсівських систем осциляторів, що взаємодіють завдяки парному та тернарному потенціалам, а також нерівноважних стохастичних систем осциляторів, які взаємодіють завдяки парному потенціалу з гіббсівськими початковими кореляційними функціями.

Знайдено періодичні та обмежені розв'язки рівнянь руху Кулона на прямій для двох і трьох однакових негативних точкових зарядів у полі двох і трьох точкових фіксованих зарядів, що симетрично розташовані. Ці системи мають рівноважні стани. У цьому випадку використано теореми Ляпунова, Зігеля, Мозера та Вайнстайна.

Розв'язано симетризоване граткове рівняння Кірквуда - Зальзбурга для гіббсівських великоканонічних кореляційних функцій граткових осциляторів, що взаємодіють через позитивні нескінченносяжні багаточастинкові потенціали. Симетризація базується на умові суперстійкості для потенціалів.

Знайдено періодичні та квазіперіодичні розв'язки рівнянь руху Кулона двох рівних негативних зарядів у полі фіксованих двох рівних позитивних зарядів із допомогою центральної теореми Ляпунова.

Розглянуто механічні системи, матриці других похідних потенціальних енергій яких у рівновазі мають нульові власні значення. Зроблено припущення, що їх потенціальні енергії є голоморфними функціями и цих сингулярних рівновагах. Для таких систем доведено існування власних обмежених для додатного часу розв'язків ньютонівських рівнянь руху, які збігаються до рівноваги в границі нескінченного часу. Ці результати застосовуються до кулонівських систем трьох зарядів із сингулярною рівновагою на прямій.